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極限 (函數)

(由函數極限跳轉過來)

包圍點

定義

首先需要假設 係實數嘅子集。

 定為任意一點,畀任何一個 ,如果存在一點 ,同時 ,符合 

咁呢點 就係叫做 包圍點(Cluster Point)。

如果用鄰區(neighborhoods)嘅角度嚟定義包圍點;

假設有一點 ,每一個  鄰區(delta-neighborhoods) ,入面都會有一點係屬於 嘅,係唔等於 。咁 就係 嘅包圍點。

性質

如果  嘅包圍點,咁就一定有一個係 嘅數列 係趨向 呢點,同時所有嘅項都符合 ,即係 。反之亦然,「 」。

函數極限

定義

首先需要假設 係實數嘅子集,同時  嘅包圍點。

如果有一個函數 同一點實數 ,同下面呢件事成立;

畀任何嘅 ,佢都會有一個對應嘅 ,令到喺 入面嘅點 符合 ,而佢使到 

咁樣函數 就係趨向(Converge)實數 。即係 

一般就叫,   點嘅極限(Limits of   at  

或者會話:「當 接近 嗰時, 會趨向 。」,呢句嘢會寫做 

 技巧

 技巧  Technique)係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面,最基本,同時對於新學習數學嘅人嚟講,係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前,需要用到一個草稿技巧,去搵出所需要嘅 。係一定需要一個先草稿,後證明嘅方法,呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用 技巧去證明其他函數極限嘅定理,會被稱為用硬功夫嘅方法。

例子:

證明 



獨有極限性質

假設有一個函數 。如果 有一點包圍點 ,咁佢只有一個係 點嘅極限。

證明:

假設有兩點  都符合極限嘅定義。

咁畀任何嘅 

都會有一個 ,令到 符合 ,令到 

同時,都會有一個 ,令到 符合 ,令到 

 ,令到 符合 

再利用三角形不等式

 

函數數列要求

函數同數列有一個重要嘅連繫,而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢,就係函數數列要求(Sequential Criterion for Limits)。呢個定理,可以將數列嘅全部特性,主要係數列極限嘅特性,轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理,會叫做利用軟功夫嘅方法。

定理

假設有一個函數 同時  嘅包圍點。咁以下兩句係等價「 」:

  •  
  • 任何喺 入面嘅數列 ,佢係趨向 呢點,而同時所有嘅 都係 ,咁 呢條數列就會趨向 

證明:


極限計算

因為有咗函數數列要求,喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。

綁定定義

假設有個實子集 同一個函數 。假設  嘅包圍點。

如果存在一個   鄰區,同埋一個數 ,對所有嘅 符合, 

咁會話,函數  嘅鄰區被綁定。(f is bounded on a neighborhood of c)

綁定性質

假設有個實子集 同一個函數 

如果 係趨向 呢點,咁 就會被綁係一啲嘅 嘅鄰區入面。

證明:

證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。

極限計算法則

基本上,同數列嘅法則係一樣。

假設有個實子集 ,函數  ,重有一個實數  係包圍點。如果  ,以下嘅等式成立:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5. 如果 ,而所有嘅  ,同時 ,咁 

證明:

利用軟功夫,只需要將 變成任何一條喺 入面嘅數列,符合 ,而 

因為函數數列要求,  成立。

之後利用數列極限嘅計算法,就會得出上面結果。

利用硬功夫嘅方法,因為定義得知,對應任何 

都會有 ,令到 符合,使到 符合。

都會有 ,令到 符合,使到 符合。



證明三,需要用到草稿嘅技巧。



證明五,需要證明「如果 ,而所有嘅  ,同時 ,咁 。」係啱嘅話呢,利用三就可以證明出五。先做草稿:


推斷

因上面嘅嘢可以得知以下都係啱:

  •  
  •  
  •  

排序定理

假設有個實子集 ,函數  係包圍點。

如果所有嘅 符合 同時 ,咁 

證明:

都係利用軟功夫,將數列嘅排序定理引用過嚟。

夾縫定理

假設有個實子集 ,函數  係包圍點。

如果所有嘅 符合 同時 ,咁 

不趨向要求

有趨向,就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到不趨向要求(Divergence Criteria)。

定義

首先需要假設 係實數嘅子集,同時  嘅包圍點,而有一個函數 

  1. 如果 係喺實數入面嘅一點,咁「 唔係趨向 ,或者 唔係 嘅極限 對應所有嘅 同埋 ,有一條數列 趨向 ,但係 唔趨向 。」;
  2.  唔係趨向 ,或者 唔係 嘅極限 對應所有嘅 同埋 ,有一條數列 趨向 ,但係喺 入面 唔趨向一點。

證明:

(1) 已經從上面證明咗。

(2) 假設有一條數列 趨向 ,但係喺 入面 唔趨向一點。

咁即係畀任何一個   同埋 都會成立。

所以唔符合極限嘅定義。

應用

 係唔存在喺實數入面。

左右趨向

將函數極限嘅定義改一改少少,咁就會有左右趨向嘅概念。

定義

假設有個實子集 ,同時有一個函數 

如果  嘅包圍點,同時有一點 符合:

畀任何嘅 ,都會有一個對應嘅 ,令到所有嘅 符合 ,令到 符合。

咁樣 就係  右極限(Right-hand Limit of   at  )。

一般會寫做, 或者 

如果  嘅包圍點,同時有一點 符合:

畀任何嘅 ,都會有一個對應嘅 ,令到所有嘅 符合 ,令到 符合。

咁樣 就係  左極限(Left-hand Limit of   at  

一般會寫做, 或者 

注意:左極限同右極限可以同時存在,又可以兩者都唔相等。左極限可以存在,但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限,咁 

函數數列要求

因為有極限,所有就會有數列要求嘅出現。

右極限版本:

假設有一個函數 同時  嘅包圍點。咁以下兩句係等價「 」:

  •  
  • 任何喺 入面嘅數列 ,佢係趨向 呢點,而同時所有嘅 都係 ,咁 呢條數列就會趨向 

左極限版本:

假設有一個函數 同時  嘅包圍點。咁以下兩句係等價「 」:

  •  
  • 任何喺 入面嘅數列 ,佢係趨向 呢點,而同時所有嘅 都係 ,咁 呢條數列就會趨向 

趨向無限

趨向無限有兩個定義,一個就係 嘅數值趨向無限。例子有: 。或者係當數值 趨向無限時, 嘅數值會趨向一點。例子有: 。 

無窮極限

無窮極限(Infinite Limits)就係第一種趨向無限嘅極限。

定義

假設有一個實子集 ,函數 ,同時  嘅包圍點。

如果畀任何 ,一定存在一個 ,令到所有嘅 符合 ,到會令到 嘅話;

 趨向   嘅極限係正無限 (f tends to   as  )。

一般會寫成 

如果畀任何 ,一定存在一個 ,令到所有嘅 符合 ,到會令到 嘅話呢;

 趨向   嘅極限係負無限 (f tends to   as  )。

一般會寫成 

例子

 

證明

畀任何一個 ,設 

假設 ,咁樣

 
符合條件嘅 ,其實可以利用 技巧搵出嚟。

無限排序性質

假設有一個實子集 ,函數 ,同時  嘅包圍點。

假設任何嘅 同時  

如果 ,咁 

如果 ,咁 

左右趨向定義

假設有一個實子集 ,函數 ,同時  嘅包圍點。

如果畀任何 ,一定存在一個 ,令到所有嘅 符合 ,到會令到 (對應係 )嘅話;

 趨向   嘅極限係正無限 (f tends to   as  )。

一般會寫成 ,(對應嘅係 )。

趨向無限

趨向無限(Limits at Infinity)係第二種趨向無限嘅極限。

定義

假設有一個實子集 ,函數 

假設對應有啲  

畀任何 ,一定有一個 對應任何 ,使到 嘅話;

  趨向無限時 嘅極限(limit of   as  )。

一般會寫做 或者 

函數數列要求

假設有一個實子集 ,函數 

假設對應有啲  ,咁以下兩句係等價:

  •  
  • 任何一條喺 入面嘅數列 ,佢係 ,咁樣 就會趨向 

趨向無限嘅無窮極限

將上面兩者夾埋,就會得出下面嘅定義。

定義

假設有一個實子集 ,函數 

假設對應有啲  

畀任何 ,一定有一個 對應任何 ,使到 嘅話(對應係 );

 趨向無限時 嘅極限係無窮(limit of   as  )。

一般會寫做 或者 。(對應係