極限 (函數)

(由函數極限跳轉過嚟)

函數極限(Limit of Function)係數學分析微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面,定義函數極限係需要用到包圍點同埋技巧。

包圍點

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定義

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首先需要假設 係實數嘅子集。

 定為任意一點,畀任何一個 ,如果存在一點 ,同時 ,符合 

咁呢點 就係叫做 包圍點(Cluster Point)。

如果用鄰區(neighborhoods)嘅角度嚟定義包圍點;

假設有一點 ,每一個  鄰區(delta-neighborhoods) ,入面都會有一點係屬於 嘅,係唔等於 。咁 就係 嘅包圍點。

性質

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如果  嘅包圍點,咁就一定有一個係 嘅數列 係趨向 呢點,同時所有嘅項都符合 ,即係 。反之亦然,「 」。

函數極限

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定義

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首先需要假設 係實數嘅子集,同時  嘅包圍點。

如果有一個函數 同一點實數 ,同下面呢件事成立;

畀任何嘅 ,佢都會有一個對應嘅 ,令到喺 入面嘅點 符合 ,而佢使到 

咁樣函數 就係趨向(Converge)實數 。即係 

一般就叫,   點嘅極限(Limits of   at  

或者會話:「當 接近 嗰時, 會趨向 。」,呢句嘢會寫做 

 技巧

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 技巧  Technique)係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面,最基本,同時對於新學習數學嘅人嚟講,係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前,需要用到一個草稿技巧,去搵出所需要嘅 。係一定需要一個先草稿,後證明嘅方法,呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用 技巧去證明其他函數極限嘅定理,會被稱為用硬功夫嘅方法。

例子:

證明 

草稿

先計算 

 

 。注意唔可以將佢設做 ,因為分母會變 

得知 

而家要處理嘅,係個分母 。要搵一個合理嘅限綁死 

因為上面限定咗 ,即係話 

由上可得 ,再推斷得知, 

 

得出呢條式之後,就可以知到將 

證明

畀任何 ,將 

因為 符合 ,當 得知, 


計算, 


因為得知 ,所以 

獨有極限性質

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假設有一個函數 。如果 有一點包圍點 ,咁佢只有一個係 點嘅極限。

證明:

假設有兩點  都符合極限嘅定義。

咁畀任何嘅 

都會有一個 ,令到 符合 ,令到 

同時,都會有一個 ,令到 符合 ,令到 

 ,令到 符合 

再利用三角形不等式

 

函數數列要求

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函數同數列有一個重要嘅連繫,而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢,就係函數數列要求(Sequential Criterion for Limits)。呢個定理,可以將數列嘅全部特性,主要係數列極限嘅特性,轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理,會叫做利用軟功夫嘅方法。

定理

假設有一個函數 同時  嘅包圍點。咁以下兩句係等價「 」:

  •  
  • 任何喺 入面嘅數列 ,佢係趨向 呢點,而同時所有嘅 都係 ,咁 呢條數列就會趨向 

證明:

 

假設 成立,同時  入面嘅數列,並且 而所有嘅 都符合 

畀任何一個任意嘅 

根據函數極限嘅定義,會有一個 ,令到喺 入面嘅一點 符合 ,使到 

根據數列極限嘅定義,會有一個 ,使到第 項符合 

因此,將大過第 項放入函數,得知 

所以 

 

假設上點唔啱,即係 

咁樣就會有一個 -鄰區 ,搞到揀任何一個  -鄰區,都會有一點  又同時 。換句話講,即係喺 -鄰區入面,放咗入函數之後對應嗰點,係會唔係對應嘅 -鄰區入面。

因此得出,所有嘅   -鄰區入面嘅 會符合  

但係所有 都符合 

所以喺 入面嘅數列 係趨向 ,但係 唔趨向 

利用否定證明嘅概念,得知 係正確。

極限計算

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因為有咗函數數列要求,喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。

綁定定義

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假設有個實子集 同一個函數 。假設  嘅包圍點。

如果存在一個   鄰區,同埋一個數 ,對所有嘅 符合, 

咁會話,函數  嘅鄰區被綁定。(f is bounded on a neighborhood of c)

綁定性質

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假設有個實子集 同一個函數 

如果 係趨向 呢點,咁 就會被綁係一啲嘅 嘅鄰區入面。

證明:

證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。

硬功夫

假設 。設 

根據定義,就會有一個 ,令到 ,使到 成立。

利用三角形不等式 

因此得知, 

由上面嘅式推斷出,所有 ,都會符合 

如果 ,可以考慮 

再加埋 ,可以考慮 

總結,如果  

極限計算法則

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基本上,同數列嘅法則係一樣。

假設有個實子集 ,函數  ,重有一個實數  係包圍點。如果  ,以下嘅等式成立:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5. 如果 ,而所有嘅  ,同時 ,咁 

證明:

利用軟功夫,只需要將 變成任何一條喺 入面嘅數列,符合 ,而 

因為函數數列要求,  成立。

之後利用數列極限嘅計算法,就會得出上面結果。

利用硬功夫嘅方法,因為定義得知,對應任何 

都會有 ,令到 符合,使到 符合。

都會有 ,令到 符合,使到 符合。

證明(1)

 。計算: 

證明(2)

 。計算: 

證明三,需要用到草稿嘅技巧。

草稿

根據定義,對應任何 

都會有 ,令到 符合,使到 符合。

都會有 ,令到 符合,使到 符合。

想求出 嘅數值,所以要計下: 問題出現咗喺 上面,因為佢係一個變數,唔知佢幾時係大,幾時係細。但係如果設,根據綁定性質嘅證明, ,就可以得知有一個 符合 

如果將 ,咁 

得出, 。咁 ,所以就寫得出個證明。

證明(3)

假設  

 ,根據綁定性質,可以得知有一個 符合 

 同埋 

都會有 ,令到 符合,使到 符合。

都會有 ,令到 符合,使到 符合。

計算; 

證明(4)

假設 係一個常數函數,即係 。咁利用上面(3)就可以得出(4)。

證明五,需要證明「如果 ,而所有嘅  ,同時 ,咁 。」係啱嘅話呢,利用三就可以證明出五。先做草稿:

草稿

計算: 而家想搵一個 係使到 

因為 ,設 ,都一定會有一個 ,符合 ,使到 

 

所以, 

姐係要將 。咁就可以寫嘅證明。

證明(5)
因為 ,根據定義,

 ,都會有一個 ,令到 成立,使到 

利用草稿所寫嘅嘢,得知 

畀任何一個 ,咁有一個 ,令到 成立,使到 

 ,咁就會有一個對應嘅 ,令到 成立,使到 

推斷

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因上面嘅嘢可以得知以下都係啱:

  •  
  •  
  •  

排序定理

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假設有個實子集 ,函數  係包圍點。

如果所有嘅 符合 同時 ,咁 

證明:

都係利用軟功夫,將數列嘅排序定理引用過嚟。

夾縫定理

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假設有個實子集 ,函數  係包圍點。

如果所有嘅 符合 同時 ,咁 

不趨向要求

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有趨向,就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到不趨向要求(Divergence Criteria)。

定義

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首先需要假設 係實數嘅子集,同時  嘅包圍點,而有一個函數 

  1. 如果 係喺實數入面嘅一點,咁「 唔係趨向 ,或者 唔係 嘅極限 對應所有嘅 同埋 ,有一條數列 趨向 ,但係 唔趨向 。」;
  2.  唔係趨向 ,或者 唔係 嘅極限 對應所有嘅 同埋 ,有一條數列 趨向 ,但係喺 入面 唔趨向一點。

證明:

(1) 已經從上面證明咗。

(2) 假設有一條數列 趨向 ,但係喺 入面 唔趨向一點。

咁即係畀任何一個   同埋 都會成立。

所以唔符合極限嘅定義。

應用

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 係唔存在喺實數入面。

左右趨向

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將函數極限嘅定義改一改少少,咁就會有左右趨向嘅概念。

定義

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假設有個實子集 ,同時有一個函數 

如果  嘅包圍點,同時有一點 符合:

畀任何嘅 ,都會有一個對應嘅 ,令到所有嘅 符合 ,令到 符合。

咁樣 就係  右極限(Right-hand Limit of   at  )。

一般會寫做, 或者 

如果  嘅包圍點,同時有一點 符合:

畀任何嘅 ,都會有一個對應嘅 ,令到所有嘅 符合 ,令到 符合。

咁樣 就係  左極限(Left-hand Limit of   at  

一般會寫做, 或者 

注意:左極限同右極限可以同時存在,又可以兩者都唔相等。左極限可以存在,但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限,咁 

函數數列要求

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因為有極限,所有就會有數列要求嘅出現。

右極限版本:

假設有一個函數 同時  嘅包圍點。咁以下兩句係等價「 」:

  •  
  • 任何喺 入面嘅數列 ,佢係趨向 呢點,而同時所有嘅 都係 ,咁 呢條數列就會趨向 

左極限版本:

假設有一個函數 同時  嘅包圍點。咁以下兩句係等價「 」:

  •  
  • 任何喺 入面嘅數列 ,佢係趨向 呢點,而同時所有嘅 都係 ,咁 呢條數列就會趨向 

趨向無限

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趨向無限有兩個定義,一個就係 嘅數值趨向無限。例子有: 。或者係當數值 趨向無限時, 嘅數值會趨向一點。例子有: 。 

無窮極限

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無窮極限(Infinite Limits)就係第一種趨向無限嘅極限。

定義

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假設有一個實子集 ,函數 ,同時  嘅包圍點。

如果畀任何 ,一定存在一個 ,令到所有嘅 符合 ,到會令到 嘅話;

 趨向   嘅極限係正無限 (f tends to   as  )。

一般會寫成 

如果畀任何 ,一定存在一個 ,令到所有嘅 符合 ,到會令到 嘅話呢;

 趨向   嘅極限係負無限 (f tends to   as  )。

一般會寫成 

例子

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證明

畀任何一個 ,設 

假設 ,咁樣 符合條件嘅 ,其實可以利用 技巧搵出嚟。

無限排序性質

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假設有一個實子集 ,函數 ,同時  嘅包圍點。

假設任何嘅 同時  

如果 ,咁 

如果 ,咁 

左右趨向定義

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假設有一個實子集 ,函數 ,同時  嘅包圍點。

如果畀任何 ,一定存在一個 ,令到所有嘅 符合 ,到會令到 (對應係 )嘅話;

 趨向   嘅極限係正無限 (f tends to   as  )。

一般會寫成 ,(對應嘅係 )。

趨向無限

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趨向無限(Limits at Infinity)係第二種趨向無限嘅極限。

定義

假設有一個實子集 ,函數 

假設對應有啲  

畀任何 ,一定有一個 對應任何 ,使到 嘅話;

  趨向無限時 嘅極限(limit of   as  )。

一般會寫做 或者 

函數數列要求

假設有一個實子集 ,函數 

假設對應有啲  ,咁以下兩句係等價:

  •  
  • 任何一條喺 入面嘅數列 ,佢係 ,咁樣 就會趨向 

趨向無限嘅無窮極限

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將上面兩者夾埋,就會得出下面嘅定義。

定義

假設有一個實子集 ,函數 

假設對應有啲  

畀任何 ,一定有一個 對應任何 ,使到 嘅話(對應係 );

 趨向無限時 嘅極限係無窮(limit of   as  )。

一般會寫做 或者 。(對應係