函數極限 (Limit of Function)係數學分析 同微積分 入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面,定義函數極限係需要用到包圍點同埋ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } 技巧。
函數極限
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函數數列要求
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極限計算
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因為有咗函數數列要求,喺數列 入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。
綁定定義
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假設有個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } 同一個函數f : A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } 。假設c {\displaystyle c} 係A {\displaystyle A} 嘅包圍點。
如果存在一個V δ ( c ) {\displaystyle V_{\delta }(c)} 係c {\displaystyle c} 嘅δ {\displaystyle \delta } 鄰區,同埋一個數M > 0 {\displaystyle M>0} ,對所有嘅x ∈ A ∩ V δ ( c ) {\displaystyle x\in A\cap V_{\delta }(c)} 符合,| f ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f(x)|\leq M} 。
咁會話,函數f {\displaystyle f} 係c {\displaystyle c} 嘅鄰區被綁定。(f is bounded on a neighborhood of c)
綁定性質
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假設有個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } 同一個函數f : A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } 。
如果f {\displaystyle f} 係趨向c {\displaystyle c} 呢點,咁f {\displaystyle f} 就會被綁係一啲嘅c {\displaystyle c} 嘅鄰區入面。
證明:
證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。
極限計算法則
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基本上,同數列 嘅法則係一樣。
假設有個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f : A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } 、g : A → R {\displaystyle g:A\to \mathbb {R} } ,重有一個實數b ∈ R {\displaystyle b\in \mathbb {R} } 同c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 係包圍點。如果lim x → c f = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f=L} ,lim x → c g = M {\displaystyle \lim _{x\to c}g=M} ,以下嘅等式成立:
lim x → c ( f + g ) = L + M {\displaystyle \lim _{x\to c}(f+g)=L+M}
lim x → c ( f − g ) = ( L − M ) {\displaystyle \lim _{x\to c}(f-g)=(L-M)}
lim x → c ( f ⋅ g ) = L ⋅ M {\displaystyle \lim _{x\to c}(f\cdot g)=L\cdot M}
lim x → c b ⋅ f = b ⋅ L {\displaystyle \lim _{x\to c}b\cdot f=b\cdot L}
如果h : A → R {\displaystyle h:A\to \mathbb {R} } ,而所有嘅x ∈ A {\displaystyle x\in A} ,h ( x ) ≠ 0 {\displaystyle h(x)\neq 0} ,同時lim x → c h = N ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}h=N\neq 0} ,咁lim x → c ( f h ) = L N {\displaystyle \lim _{x\to c}{\bigl (}{\frac {f}{h}}{\bigr )}={\frac {L}{N}}} 。 證明:
利用軟功夫,只需要將( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 變成任何一條喺A {\displaystyle A} 入面嘅數列,符合x n ≠ c {\displaystyle x_{n}\neq c} ,而lim ( x n ) = c {\displaystyle \lim(x_{n})=c} 。
因為函數數列要求,lim ( f ( x n ) ) = L {\displaystyle \lim(f(x_{n}))=L} 同lim ( g ( x n ) ) = M {\displaystyle \lim(g(x_{n}))=M} 成立。
之後利用數列極限嘅計算法,就會得出上面結果。
利用硬功夫嘅方法,因為定義得知,對應任何ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ;
都會有δ f > 0 {\displaystyle \delta _{f}>0} ,令到0 < | x − c | < δ f {\displaystyle 0<|x-c|<\delta _{f}} 符合,使到| f ( x ) − L | < ε 2 {\displaystyle |f(x)-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}} 符合。
都會有δ g > 0 {\displaystyle \delta _{g}>0} ,令到0 < | x − c | < δ g {\displaystyle 0<|x-c|<\delta _{g}} 符合,使到| g ( x ) − M | < ε 2 {\displaystyle |g(x)-M|<{\frac {\varepsilon }{2}}} 符合。
設δ := sup { δ f , δ g } {\displaystyle \delta :=\sup\{\delta _{f},\delta _{g}\}} 。計算:
| ( f ( x ) + g ( x ) ) − ( L + M ) | = | f ( x ) + g ( x ) − L − M | = | ( f ( x ) − L ) + ( g ( x ) − M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M | < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)+g(x))-(L+M)|&=|f(x)+g(x)-L-M|\\&=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}
設δ := sup { δ f , δ g } {\displaystyle \delta :=\sup\{\delta _{f},\delta _{g}\}} 。計算:
| ( f ( x ) − g ( x ) ) − ( L − M ) | = | f ( x ) − g ( x ) − L + M | = | ( f ( x ) − L ) − ( g ( x ) − M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M | < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle {\begin{aligned}|(f(x)-g(x))-(L-M)|&=|f(x)-g(x)-L+M|\\&=|(f(x)-L)-(g(x)-M)|\\&\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}}
證明三,需要用到草稿嘅技巧。
假設f {\displaystyle f} 係一個常數函數,即係f ( x ) = b , b ∈ R {\displaystyle f(x)=b,b\in \mathbb {R} } 。咁利用上面(3)就可以得出(4)。
證明五,需要證明「如果h : A → R {\displaystyle h:A\to \mathbb {R} } ,而所有嘅x ∈ A {\displaystyle x\in A} ,1 h ( x ) ≠ 0 {\displaystyle {\frac {1}{h(x)}}\neq 0} ,同時lim x → c h = N ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}h=N\neq 0} ,咁lim x → c ( 1 h ) = 1 N {\displaystyle \lim _{x\to c}{\bigl (}{\frac {1}{h}}{\bigr )}={\frac {1}{N}}} 。」係啱嘅話呢,利用三就可以證明出五。先做草稿:
計算:
| 1 h ( x ) − 1 N | = | N − h ( x ) h ( x ) N | ≤ | h ( x ) − N | | h ( x ) | | N | {\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}{\frac {1}{h(x)}}-{\frac {1}{N}}{\bigr |}&={\bigl |}{\frac {N-h(x)}{h(x)N}}{\bigr |}\\&\leq {\frac {|h(x)-N|}{|h(x)||N|}}\end{aligned}}} 而家想搵一個
M > 0 {\displaystyle M>0} 係使到
1 | h ( x ) | | N | ≤ M {\displaystyle {\frac {1}{|h(x)||N|}}\leq M} 。
因為lim x → c h = N {\displaystyle \lim _{x\to c}h=N} ,設ε h := 1 2 | N | {\displaystyle \varepsilon _{h}:={\frac {1}{2}}|N|} ,都一定會有一個δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ,符合0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } ,使到| h ( x ) − x | < ε h {\displaystyle |h(x)-x|<\varepsilon _{h}}
| | h ( x ) | − | N | | ≤ | h ( x ) − N | < ε h | | h ( x ) | − | N | | < ε h − ε h < | h ( x ) | − | N | − 1 2 | N | < | h ( x ) | − | N | 1 2 | N | < | h ( x ) | {\displaystyle {\begin{aligned}||h(x)|-|N||\leq |h(x)-N|&<\varepsilon _{h}\\||h(x)|-|N||&<\varepsilon _{h}\\-\varepsilon _{h}&<|h(x)|-|N|\\-{\frac {1}{2}}|N|&<|h(x)|-|N|\\{\frac {1}{2}}|N|<|h(x)|\\\end{aligned}}}
所以,1 | h ( x ) | ≤ 1 1 2 | N | = 2 | N | {\displaystyle {\frac {1}{|h(x)|}}\leq {\frac {1}{{\frac {1}{2}}|N|}}={\frac {2}{|N|}}} 。
姐係要將ε ′ := inf { 2 | N | ε , 1 2 | N | } {\displaystyle \varepsilon ':=\inf\{2|N|\varepsilon ,{\frac {1}{2}}|N|\}} 。咁就可以寫嘅證明。
因上面嘅嘢可以得知以下都係啱:
lim x → c ( f 1 + f 2 + ⋯ + f n ) = L 1 + L 2 + ⋯ + L n {\displaystyle \lim _{x\to c}(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}}
lim x → c ( f 1 ⋅ f 2 ⋅ ⋯ ⋅ f n ) = L 1 ⋅ L 2 ⋅ ⋯ ⋅ L n {\displaystyle \lim _{x\to c}(f_{1}\cdot f_{2}\cdot \cdots \cdot f_{n})=L_{1}\cdot L_{2}\cdot \cdots \cdot L_{n}}
lim x → c ( f ( x ) ) n = L n {\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x))^{n}=L^{n}} 排序定理
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假設有個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f : A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } ,c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 係包圍點。
如果所有嘅x ∈ A , x ≠ c {\displaystyle x\in A,x\neq c} 符合a ≤ f ( x ) ≤ b {\displaystyle a\leq f(x)\leq b} 同時lim x → c f = c {\displaystyle \lim _{x\to c}f=c} ,咁a ≤ lim x → c f ≤ b {\displaystyle a\leq \lim _{x\to c}f\leq b} 。
證明:
都係利用軟功夫,將數列嘅排序定理引用過嚟。
夾縫定理
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假設有個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f , g , h : A → R {\displaystyle f,g,h:A\to \mathbb {R} } ,c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 係包圍點。
如果所有嘅x ∈ A , x ≠ c {\displaystyle x\in A,x\neq c} 符合f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)} 同時lim x → c f = lim x → c h = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f=\lim _{x\to c}h=L} ,咁lim x → c g = L {\displaystyle \lim _{x\to c}g=L} 。
不趨向要求
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左右趨向
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趨向無限
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趨向無限有兩個定義,一個就係f ( x ) {\displaystyle f(x)} 嘅數值趨向無限。例子有:lim x → 0 1 x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=\infty } 。或者係當數值x {\displaystyle x} 趨向無限時,f ( x ) {\displaystyle f(x)} 嘅數值會趨向一點。例子有:lim x → ∞ 0.1 x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }0.1^{x}=0} 。
無窮極限
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無窮極限 (Infinite Limits)就係第一種趨向無限嘅極限。
假設有一個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f ( x ) : A → R {\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} } ,同時c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 係A {\displaystyle A} 嘅包圍點。
如果畀任何a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } ,一定存在一個δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ,令到所有嘅x ∈ A {\displaystyle x\in A} 符合0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } ,到會令到f ( x ) > a {\displaystyle f(x)>a} 嘅話;
當x {\displaystyle x} 趨向c {\displaystyle c} ,x → c {\displaystyle x\to c} ,f {\displaystyle f} 嘅極限係正無限∞ {\displaystyle \infty } (f tends to ∞ {\displaystyle \infty } as x → c {\displaystyle x\to c} )。
一般會寫成lim x → c f = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f=\infty } 。
如果畀任何b ∈ R {\displaystyle b\in \mathbb {R} } ,一定存在一個δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ,令到所有嘅x ∈ A {\displaystyle x\in A} 符合0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } ,到會令到f ( x ) < b {\displaystyle f(x)<b} 嘅話呢;
當x {\displaystyle x} 趨向c {\displaystyle c} ,x → c {\displaystyle x\to c} ,f {\displaystyle f} 嘅極限係負無限− ∞ {\displaystyle -\infty } (f tends to − ∞ {\displaystyle -\infty } as x → c {\displaystyle x\to c} )。
一般會寫成lim x → c f = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f=-\infty } 。
lim x → 0 1 x 2 = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty }
證明
畀任何一個a > 0 {\displaystyle a>0} ,設δ := 1 a {\displaystyle \delta :={\frac {1}{\sqrt {a}}}} 。
假設0 < | x | < δ {\displaystyle 0<|x|<\delta } ,咁樣x 2 < 1 a 1 x 2 > a {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&<{\frac {1}{a}}\\{\frac {1}{x^{2}}}&>a\end{aligned}}} 符合條件嘅δ {\displaystyle \delta } ,其實可以利用ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } 技巧搵出嚟。
無限排序性質
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假設有一個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f ( x ) : A → R {\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} } ,同時c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 係A {\displaystyle A} 嘅包圍點。
假設任何嘅∀ x ∈ A {\displaystyle \forall x\in A} 同時x ≠ c {\displaystyle x\neq c} ,f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)} 。
如果lim x → c f = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f=\infty } ,咁lim x → c g = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}g=\infty } 。
如果lim x → c g = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}g=-\infty } ,咁lim x → c f = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f=-\infty } 。
左右趨向定義
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假設有一個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f ( x ) : A → R {\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} } ,同時c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } 係A ∩ ( c , ∞ ) = { x ∈ A : x > c } {\displaystyle A\cap (c,\infty )=\{x\in A:x>c\}} 嘅包圍點。
如果畀任何a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } ,一定存在一個δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ,令到所有嘅x ∈ A {\displaystyle x\in A} 符合0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } ,到會令到f ( x ) > a {\displaystyle f(x)>a} (對應係f ( x ) < a {\displaystyle f(x)<a} )嘅話;
當x {\displaystyle x} 趨向c + {\displaystyle c+} ,x → c + {\displaystyle x\to c+} ,f {\displaystyle f} 嘅極限係正無限∞ {\displaystyle \infty } (f tends to ∞ {\displaystyle \infty } as x → c + {\displaystyle x\to c+} )。
一般會寫成lim x → c + f = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c+}f=\infty } ,(對應嘅係lim x → c − f = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c-}f=\infty } )。
趨向無限
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趨向無限(Limits at Infinity) 係第二種趨向無限嘅極限。
定義
假設有一個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f ( x ) : A → R {\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} } 。
假設對應有啲a ∈ R {\displaystyle a\in R} ,( a , ∞ ) ⊆ A {\displaystyle (a,\infty )\subseteq A} 。
畀任何ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ,一定有一個K > a {\displaystyle K>a} 對應任何x > K {\displaystyle x>K} ,使到| f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon } 嘅話;
L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } 係x {\displaystyle x} 趨向無限時x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } 嘅極限(limit of f {\displaystyle f} as x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } )。
一般會寫做lim x → ∞ f = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f=L} 或者lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L} 。
函數數列要求
假設有一個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f ( x ) : A → R {\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} } 。
假設對應有啲a ∈ R {\displaystyle a\in R} ,( a , ∞ ) ⊆ A {\displaystyle (a,\infty )\subseteq A} ,咁以下兩句係等價:
lim x → ∞ f = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f=L}
任何一條喺A ∩ ( a , ∞ ) {\displaystyle A\cap (a,\infty )} 入面嘅數列( x n ) {\displaystyle (x_{n})} ,佢係( x n ) → ∞ {\displaystyle (x_{n})\to \infty } ,咁樣( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} 就會趨向L {\displaystyle L} 。 趨向無限嘅無窮極限
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將上面兩者夾埋,就會得出下面嘅定義。
定義
假設有一個實子集A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ,函數f ( x ) : A → R {\displaystyle f(x):A\rightarrow \mathbb {R} } 。
假設對應有啲a ∈ R {\displaystyle a\in R} ,( a , ∞ ) ⊆ A {\displaystyle (a,\infty )\subseteq A} 。
畀任何ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ,一定有一個K > a {\displaystyle K>a} 對應任何x > K {\displaystyle x>K} ,使到f ( x ) > a {\displaystyle f(x)>a} 嘅話(對應係f ( x ) < a {\displaystyle f(x)<a} );
喺x {\displaystyle x} 趨向無限時x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } 嘅極限係無窮(limit of f {\displaystyle f} as x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } )。
一般會寫做lim x → ∞ f = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f=\infty } 或者lim x → ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty } 。(對應係lim x → ∞ f = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f=-\infty } )