同餘
兩個不同數字既同餘係一樣既話,姐係兩個數除同一個數字,所得餘數係一樣。
同餘(Congruence Modulo)係指兩個整數除另一個整數,呢兩個數嘅餘數都係一樣。喺現代嘅數學基礎中,同餘係一個等價關係。數學上,同餘會以「」表達。
定義改
證明改
證明同餘係等價關係。根據「 」嘅要求,就需要證明,自反性、對稱性、傳遞性。
- 自反性:( ) 一個整數除另一個整數嘅餘數係不變,所以 。
- 對稱性:( ) 如果a同b係m嘅同餘, 。
相對嘅定義係: 。
抽因式,抽個負出嚟, 。
最後得出, 。
- 傳遞性:( ) 如果a同b係m嘅同餘,同時b同c又係m嘅同餘,即係 。
相對嘅定義係, 同埋 。
將兩條式互相加埋得出, 。
最後得出, 。
因此,呢個係一個等價關係。
商餘計算改
其實商餘同同餘嘅關係係密不可分。
計算規則改
- 如果 ,有一個整數 ,會令到 。
- 如果 ,有一個整數 ,會令到 。
其實以上嘅規則係需要證明。呢兩條規則嘅意思係,同餘嘅方程係同普通嘅無分別,都係可以乘同埋除。不過有一點要注意嘅係 係整數,所以除法係唔存在。換句話嚟講,(2)係唔可以好似普通方程咁約簡。
同餘約簡改
如果 ,而 嘅話,就會有一個整數 ,會令到 。變相將個n約走咗啦。
利用上面嘅公式,得知 。
如果將上面嘅n乘入去 ,得到 。
因為同餘嘅傳遞性, 。
同餘約簡可以係一個解線性商餘方程嘅工具。有關計算例子可以睇線性商餘方程。