場 (代數結構)

有加減乘除嘅數學結構

(Field)係一種代數結構。同時,佢又係又係。即係一個可以做嘅環。

場可以睇做最簡單嘅一種環,因為佢嘅理想只有兩個,一個係零理想,另一個係成個場自己。

佢主要經擴張域嚟討論多項式嘅根,即係伽華理論

代數幾何入面都成日會用到場同埋場擴張,例如畀一個幾何物體,可以考慮佢嘅函數場(Function field),而呢個函數場好多時都包含住好多原本嘅幾何物件嘅資訊。同伽華理論唔同嘅係,代數幾何入面考慮嘅場,佢嘅超越維度(transcendental degree)好多時都係大過0,而伽華理論入面考慮嘅就好多時都係0維嘅。

定義

純代數定義

一個集 ,再加兩個二元運算 )同 ),重有兩嚿嘢,一嚿係 ;一嚿係 ,呢個設定符合以下條件:

  1.  阿標群
  2.  阿標群
  3. 對應任何    入面, 

 就係一個場。

環論角度定義

利用環論嘅角度嚟睇,場都可以有同上面一樣嘅定義:

「一個帶 可溝通環,如果佢入面所有非零嘅嘢都係可逆元(Unit),咁佢就係一個場。」

利用多項式定義

從上面嘅定義可以引伸出以下呢個定義:

「係一個可溝通環到,當  條方程永遠有解嘅話,咁佢就係一個場。」

明顯,個解就係 。換句話講,呢個環可以做到

例子

  •   —— 有理數
  •   —— 實數
  •   —— 整數除以5嘅餘數嘅等價類。

以上呢三個都係場。

場係域

根據定義,明顯場就係一個(Integral Domain)。可以引伸到以下定義:

「一個場係無兩粒非零嘢乘埋係零,即係無Zero Divisor。」

證明:

如果 係一個場。設  

如果 ,咁 

咁即係任何兩粒非零嘢乘埋唔係零。

虛數場

距離乘法則

迪摩費定理(DeMoivre's Theorem)

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