加(Addition)係數學運算一種,一般習慣會用「
」呢個符號嚟表達,呢個符號又叫做「加號」。加法係四個基本算術運算嘅其中一個(其餘係減、乘同除)。
用蘋果嚟表示

。
加法係將兩個量加埋做一個量嚟表示嘅運算。意指將兩組嘅量合併做一組嘅意思。假設左面有
個蘋果,右面有
個蘋果,將呢兩個量合併一齊,就總共有
個蘋果。利用數學式嚟表達,就係
。(講法係,三加二等於五。)而兩個數加埋得到嗰個數就叫做「和」(Sum)。
加法除咗係日常生活數下物件之外,喺數學上,可以處理整數、有理數、實數、虛數、向量、矩陣等數學物件。而日常生活嘅加法,係可以應到任何算術,例如分數加法、有向數等,但係去高等數學加法未必係日常加法。
如果利用高等數學嘅角度嚟睇,加法呢個處理有幾個重要嘅代數性質,例如係可溝通性(Commutative),即係話處理加法嘅次序唔影響結果;結合性(Associative),即係話處理多幾個數字,個次序都唔影響結果。又例如話,當你係到數緊物品嘅時候,其實你係進行緊加法,不停咁喺度加
。加法嘅相反係減法。如果不停咁加
咁多次,咁就係一個乘法。
加法係最簡單嘅數字運算,基本上加法係好多有智慧嘅生物都可以處理,例如世界上最簡單嘅加法
,係簡單到連一個五個月大嘅小朋友或者非人類嘅生物都會識做。喺小學階段,基本上人人都會由十進制嘅加法學起,再去學解決其他進階嘅難題。而電腦科學家就研究點樣令到電腦做到加法。
基本加法改加法性質改學習加法改
天生就識改
喺1992年,美國心理學家Karen Wynn做咗一個基礎實驗,佢將一班BB仔帶到去螢幕前面,而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠公仔去進行加法實驗,而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住 係會等於 。最令人覺得出奇嘅係,喺呢個實驗入面,科學家係將個情況整到好似 係會等於 或者 。
另一個實驗,就用咗一班大啲嘅BB仔,約莫18到35個月大,佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現,呢班BB仔入面最細嗰個,可以做到簡單數字上嘅加法,而最大嗰班就可以做到 以下嘅加法。
唔係人類嘅生物都會識得做加法,最出名嘅例子就有靈長類動物。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗,佢哋用茄子代替公仔,有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩阿拉伯數目字嘅 到 ,之後呢隻黑猩猩唔使人教,就自己識做兩個數字嘅加法。最近,有發現亞洲象都識做簡單加法。
幼兒學習改
基本上,BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講,佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時,班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題,例如係話數手指,畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時,佢哋會直接由嗰一個數開始,再用手指數,例如:直接就三數起:「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧,因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後,佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟,再運用個結果做加法。例如:佢地熟悉左 ,之後當佢哋要做 嗰時,佢哋會知到用 再加 上去就得出個答案 。呢類型嘅技巧運用,好多小學生都已經係根深柢固,好自然就做到加法。
唔同國家都會教BB仔加法,但係教加法嘅年紀都唔同,有啲國家幼稚園就已經教加法,有啲就係小學教。但係基本上,全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。
加法表改
BB仔一般都要用到加法表嚟學加法,利用加法表可以令佢哋容易啲記到 到 嘅加法。
嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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嘅加法
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十進制加法改
第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法,再到百位數(三位數)。當人習慣呢套加法嗰時,佢哋就會悟出下面呢套加法規則,令到自己更快做到加法:
- 可溝通性: ,咁如果利用加法表學加法,原本要背 條加法式,而家就只需要背 條。
- 淨係加 同 :淨係加 或者 對人嚟講係好自然,基本上唔使背都會識得做。
- 零:因為 係恆等元,加咗佢即係無加過嘢,對好多人嚟講都係廢。
- 乘二:一個數自己相加,變相係乘二,如果學習埋乘法,多數人會直接跳用乘法,而唔用加法。
- 好似乘二:如果兩個數係好近,例如: 同 ,一般會將個數乘二再減返個差,睇返個例子,就會將 , 。
- 利用 :例如: ,就可以將佢寫成 ,咁就會計快啲。
當人愈大,處理加法嘅速度會係相應加快。
基本多位數嘅加法,會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數,根據佢哋個位排好,由右到左,最右面係個位數,之後到十位數,再到百位數,如似類推。之後,逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例, 就可以表達出進位呢個概念。
¹
27
+ 59
————
86
如果睇 呢個例子,個 就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外,重有好多其他方法去做加法。例如:直接由左面加起,再估計出兩個數字相加大約係幾多。
小數點加法改
小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式,將兩個數字打直並排,但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以加一啲廢零去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。
舉個例,將 :
4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
————————————
4 9 . 4 4
指數記數法改
- 內文:指數記數法
利用指數記數法,又叫科學記數法,數字會寫到為最簡約嘅方式,將數字分開一半,一半係有效數字,另一半係以 為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。
例子: 同 就可以直接相加,變成 。
但係 同 就唔可以直接相加,要將 寫成 ,先可以相加。
其他進制加法改
除咗十進制之外,重有二進制,八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制,都可以進行到加法,而且步驟同上面嘅差唔多,只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。
如果學電腦科學嘅話,轉換二進制係一定要識,以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制:
以上呢個表都可以幫助做二進制嘅加法。
二進制就逢二進一。
舉個例:
數字加法改
用加法之前,一定要證明呢個加法係完美定義(Well-define)好。因為喺數學嘅世界,加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數( )。喺集合論入面,加法係將個集整大嘅一個處理,例如用自然數整整數( )、有理數( )同實數( )。喺數學教育同埋數學史入面,正分數係早出現過負數。
自然數改
- 內文:自然數
加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數(基數即係個集入面有幾多嚿嘢)嚟做定義。另一個,比較接近日常加法。
如果自然數係用嚟做一個有限集嘅基數,即係話集 嘅基數係 , 嘅基數係 。佢哋兩個嘅加法可以咁定義:
「設 做集 嘅基數。咁兩個唔相交集 , ,嘅聯合 ,就係 。」
就係兩個集 同 嘅聯合。另一個版本嘅定義,可以接受呢兩個集係有相交,咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先,再將兩個集聯合,咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。
- 內文:整數
最簡單嘅整數概念就係絕對值或者係自然數,再加多一個正負號(正號或者負號)。整數零係一個特別嘅存在,佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義:
「對應任何整數 , 係佢嘅絕對值。同時, 同 係整數。如果 或者 係零,咁就當佢係恆等元(Identity)。如果 同 都係正數,咁定義 。如果 同 都係負數,咁 。如果 同 係唔同正負,咁就要定義 做 同 之差,之後邊一個絕對值大啲,咁佢嗰個正負號,就係答案嘅正負號。」
舉個例子,如果有 同 ,咁 就係 ,因為 ,所以個答案係 。如果有 同 ,咁 就係 ,因為 ,所以個答案係 。
用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以,但一去到複雜少少嘅問題,呢個定義有多可能性要考慮,就會令到成件事變得更加複雜。
比較常用或者方便嘅定義方法,就係利用高分迪群(Grothendieck Group)呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義,係用一個好基本法則,就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差,呢個寫法唔係獨有,即係 同時 。因此,整數可以定義為兩個自然數之差,加法又可以兼容埋減法:
「有兩個整數 同 , 都係自然數。定義 」
有理數(分數)改
- 內文:有理數
有理數,即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加,如果分母唔相同,咁就唔可以直接相加。
例子: 同 分母唔一樣,所以唔可以直接相加。
例子: 同 分母一樣,可以直接相加,得出 。
如果兩個分數分母唔相同,咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字,佢嘅數值係冇變,一般通分母會利用最小公倍數去處理。以 同 做例, 同 嘅最小公倍數係 ,所以;
將以下情況用代數表示,可以得出有理數加法嘅定義:
「 」
舉個例子:
- 內文:虛數
虛數嘅加法係將實嘅部分相加,虛嘅部分相加,所以可以咁樣定義:
「 」
其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸(x-axis),虛部分當做縱軸(y-axis),就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面,右面呢個係一個平行四邊形。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴嘅頭叫做 ,個尾叫做 ,咁 係全等於 。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。
高等數學應用改
有好多二元運算都可以當做實數加法嘅伸展,或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數入面,代數場就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展,同時佢哋都會喺集合論同埋表示論出現。
抽象代數入面嘅加法改
向量加法改
- 內文:向量
喺線性代數入面,一個向量空間係一種代數結構。喺呢個空間入面,兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法好似嘅重有實數坐禁加法,一個坐禁 就係一支喺 平面上面嘅向量,同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義:
「 」
矩陣加法改
- 內文:矩陣
兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個基數(Order/Dimension)。兩個 嘅矩陣 同 相加之後,會用 表示,都係一個 矩陣:
「 」
舉個例:
同餘加法改
- 內文:同餘
喺商數學入面,將整數 之後嗰個集就最多只有 嚿嘢,咁佢入面就會有一個加法,而對應喺音樂入面,五線譜嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數 ,得出一個得兩嚿嘢嘅集, ,咁佢入面嘅加法就同邏輯代數入面嘅Exclusive or一樣。喺幾何學入面,兩個角度相加,就係一定係實數入面 入面嘅嘢。
日常加法改
喺基本嘅抽象代數入面,一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有:阿標群。
將集合併改
加法可以將集合併,呢個都係加法入面最簡單嘅功能。
「當有兩個或以上咁多集要合併成一個,得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」
呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示,就好似右手面張圖咁。兩個集,各自有 同 咁多嚿嘢,合併完之後個集就有 嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯,所以去到高等數學,一個嚴謹定義加法嘅方法,可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟,就好似上面嘅自然數定義。同時,有咗呢個定義,去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。
原來係
咁長,而家伸展多
咁多,咁總共就有
咁長。
伸展距離改
另一個加法嘅功能就係伸長個距離:
「當一條嘢俾人加長,咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」
用代數嘅角度睇, 嘅和,喺二元運算入面就係將 同 合併埋一齊。用另一個角度睇, 可以理解做加 咁多嘢落 嗰到。