加

加係數學運算一種，一般習慣會用「 $+$ 」呢個符號嚟表達，呢個符號又叫做「加號」。加法係四個基本算術運算嘅其中一個（其餘係減、乘同除）。

加法係將兩個量加埋做一個量嚟表示嘅運算。意指將兩組嘅量合併做一組嘅意思。假設左面有 $3$ 個蘋果，右面有 $2$ 個蘋果，將呢兩個量合併一齊，就總共有 $5$ 個蘋果。利用數學式嚟表達，就係 $3+2=5$ 。（講法係，三加二等於五。）而兩個數加埋得到嗰個數就叫做「和」（Sum）。

加法除咗係日常生活數下物件之外，喺數學上，可以處理整數、有理數、實數、虛數、向量、矩陣等數學物件。而日常生活嘅加法，係可以應到任何算術，例如分數加法、有向數等，但係去高等數學加法未必係日常加法。

如果利用高等數學嘅角度嚟睇，加法呢個處理有幾個重要嘅代數性質，例如係可溝通性（Commutative），即係話處理加法嘅次序唔影響結果；結合性（Associative），即係話處理多幾個數字，個次序都唔影響結果。又例如話，當你係到數緊物品嘅時候，其實你係進行緊加法，不停咁喺度加 $1$ 。加法嘅相反係減法。如果不停咁加 $n$ 咁多次，咁就係一個乘法。

加法係最簡單嘅數字運算，基本上加法係好多有智慧嘅生物都可以處理，例如世界上最簡單嘅加法 $1+1$ ，係簡單到連一個五個月大嘅小朋友或者非人類嘅生物都會識做。喺小學階段，基本上人人都會由十進制嘅加法學起，再去學解決其他進階嘅難題。而電腦科學家就研究點樣令到電腦做到加法。

基本加法

加號（Plus Sign）

基本加法，又叫做日常加法（Usual Addition），係日常用到嘅加法。一般應用係數物件同算術。加法一般習慣用「 $+$ 」，即係「加號（Plus Sign）」嚟表示。呢個符號一般會放喺兩個數字之間^[2]，用作將呢兩樣嘢加埋嘅意思，呢個表達方法叫做中綴表示法。例如： $1+1=2$ 。例外有前綴表示法同後綴表示法。而「 $+$ 」，等於（Equal Sign）就係將個結果表示出嚟。而個結果一般就會叫做「和」。

例子

$1+1=2$ （一加一等於二）
$2+2=4$ （二加二等於四）
$3+3=6$ （三加三等於六）
$1+2+3+4=10$ （結合性）
$2+2+2+2+2=10$ （乘法）

好多時，熟習咗加法同乘法之後，有好多人會將 $3+3=6$ 寫成 $3+3=9$ ，咁樣就計錯數。

偷懶情況

有好多人慣咗加法之後，就唔會寫加號嚟表示加法。

直式加法：

5+12=17

例如做直式加法嘅時候，好多人都懶得去寫個加號去表示佢做緊加法。好似右邊幅圖咁，將 $5$ 同 $12$ 並排好加好之後得出 $17$ 。明顯，係做加法，但係都無見過加號嘅出現。

喺分數入面，帶分數就係一個偷懶嘅例子^[3]，例如： $1{\frac {2}{3}}$ ，就係指 $1$ 加 ${\frac {2}{3}}$ 。有人話呢個表達方式好容易同乘法混淆^[4]。

喺高等數學入面，連續加埋同一舊嘢寫出嚟都幾麻煩，所以就有咗級數呢樣嘢。級數係可以表達一個有套路有規律嘅加法。例如： $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$ (呢個又叫三角形數)。日常生活都有好多偷懶嘅例子，例如帳單、月結單。上面都係無加號，但係大家都知道係做緊加法。

項

將要處理加法嘅嘢就叫做項（Term），例如 $1+1=2$ ， $1$ 就係項。喺級數入面 $i$ 就係項。英文項有幾個叫法「Terms」、「Addends」、「Summands」。有人叫第一個項做「Augend」。喺文藝復興時期，好多人都唔覺得第一個項係項。而到今時今日，都無咩人去分第一個項定係第二個項，總知大家都係項，冇再分得咁細。

加嘅由來

「加」，根據粵語審音配詞字庫，讀「gaa1」或者「gaa3」。說文解字解釋，「加：語相增加也。從力從口。古牙切」原指講嘢假，加鹽加醋。之後演變到有增加嘅意思。喺兩漢之間，周髀算經已經有講解四則運算。

而英文嘅加法用字基本上都嚟自拉丁文。英文「Addition」係源自拉丁文動詞「Addere」，呢個字係「加去」同「比」嘅合字。而「Sum」就係源自「Summare」，係一個名詞指嘅係「最高，最勁」，因為兩個數相加，係一定大過之前嗰兩個數，但係呢個概念引用到古希臘同古羅馬人，但係到咗現代加法係可以加返轉頭，個數愈加愈細。

加號「 $+$ 」係拉丁文「et」嘅簡寫，意思係「add」。佢早喺1489年，已經出現喺當時嘅有關數學嘅文章入面。

加法性質

可溝通性(又叫交換律)

利用圖案表示

4+2=2+4

加法係可溝通嘅，即係話進行加法嘅次序唔影響加法嘅結果。利用數學式表示就係： $a+b=b+a$ 咁 $a$ 同 $b$ 都係一個數字。

呢個法則又叫做「加法嘅溝通法」。但係同時，有好多其他嘅二元運算唔係可溝通嘅，例如：減法，除法，矩陣乘法。

結合性

用圖片表示

2+(1+3)=(2+1)+3

加法係可以結合嘅。當你要加兩個到三個，或者有限咁多個， $n$ 咁多個數字嘅時候，做加法嘅次序唔會影響結果。如果有三個數字 $a$ ， $b$ 同 $c$ 要加嘅時候，用數學式嘅表達係 $(a+b)+c$ ，先做 $a+b$ ，得出結果後再做 $+c$ 。但係呢個出嚟嘅結果係會同先做 $b+c$ ，再做 $a+$ 係一樣。得出結論係： $(a+b)+c=a+(b+c)$ 舉個實例， $2+(1+3)=2+4=6=3+3=(2+1)+3$ 。

但係當你做四則運算嘅時候，加法嘅次序就會有所影響。加法多數都係最後會做嘅處理。

恆等元(又叫單位元素)

利用圖案表達

5+0=5

。

所謂嘅恆等元，就係一粒嘢，你令佢嚟同另一粒嘢做加法，出嚟個結果係不變。

如果根據呢個講法，好明顯 $0$ 就係日常加法嘅恆等元。因為咩嘢加零，個數值都係唔變。利用數學式表示就係： $a+0=0+a=a$ 而 $a$ 就係任何數字。例子： $5+0=5$ ，就好似右手面張圖咁，一個袋入面有 $5$ 粒嘢，另一個袋入面無嘢，將兩個個袋入面嘅嘢加埋一齊，都係得 $5$ 粒嘢。

呢個性質早喺公元前628年，由婆羅摩笈多發明。當時佢喺著作Brahmasphutasiddhanta呢本書入面將以上嘅性質用正數、負數同零用自己文字表達一次，而唔係用現代嘅代數表達方式講出嚟。去到830年左右，另一個印度數學家馬哈費亞（Mahavira）將個概念再寫多一次，佢話：「零加任何嘢都係加佢嗰嚿嘢。」換句話講即係 $0+a=a$ 。到咗12世紀，印度數學家婆什迦羅二世又話：「如果用加法嚟睇，加零，減零，無論係正數加，負數加，都係一樣。」換句話講即係 $a+0=a$ 。

單位

如果做日常加法，單位唔同係唔可以加埋一齊。舉個例子， $3$ 蚊同 $3$ 毫大家都係錢，但係就唔可以將佢加埋做 $6$ 蚊， $6$ 毫或者係 $6$ 蚊毫。但係就可以加埋之後寫成 $3.3$ （單位：元，讀三個三）。換一個例子： $6$ 個橙加 $8$ 個橙就會得出 $14$ 個橙；但係 $8$ 個橙加 $9$ 個蘋果就一定要寫成 $17$ 個生果。

同樣，進行實質物品或者距離上嘅加法，物品或者個數字嘅單位係必須要一致。例如： $1$ 厘米同 $1$ 厘米可以相加，但係同 $1$ 毫米就唔可以。如果想將佢哋兩個相加，就必須要將兩個數嘅單位換成一樣，例如將 $1$ 厘米換成 $10$ 毫米，或者將 $1$ 毫米換成 $0.1$ 厘米。詳細可以參考物理嘅量度分析（Dimensional Analysis）。

學習加法

天生就識

喺1992年，美國心理學家 Karen Wynn做咗一個基礎實驗，佢將一班BB仔帶到去螢幕前面，而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠公仔去進行加法實驗，而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住 $1+1$ 係會等於 $2$ 。最令人覺得出奇嘅係，喺呢個實驗入面，科學家係將個情況整到好似 $1+1$ 係會等於 $1$ 或者 $3$ 。

另一個實驗，就用咗一班大啲嘅BB仔，約莫18到35個月大，佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現，呢班BB仔入面最細嗰個，可以做到簡單數字上嘅加法，而最大嗰班就可以做到 $5$ 以下嘅加法。

唔係人類嘅生物都會識得做加法，最出名嘅例子就有靈長類動物。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗，佢哋用茄子代替公仔，有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩阿拉伯數目字嘅 $0$ 到 $4$ ，之後呢隻黑猩猩唔使人教，就自己識做兩個數字嘅加法。最近，有發現亞洲象都識做簡單加法。

幼兒學習

基本上，BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講，佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時，班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題，例如係話數手指，畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時，佢哋會直接由嗰一個數開始，再用手指數，例如：直接就三數起：「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧，因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後，佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟，再運用個結果做加法。例如：佢地熟悉左 $6+6=12$ ，之後當佢哋要做 $6+7$ 嗰時，佢哋會知到用 $6+6=12$ 再加 $1$ 上去就得出個答案 $13$ 。呢類型嘅技巧運用，好多小學生都已經係根深柢固，好自然就做到加法。

唔同國家都會教BB仔加法，但係教加法嘅年紀都唔同，有啲國家幼稚園就已經教加法，有啲就係小學教。但係基本上，全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。

加法表

BB仔一般都要用到加法表嚟學加法，利用加法表可以令佢哋容易啲記到 $1$ 到 $10$ 嘅加法。

$1$ 嘅加法 $1+0=1$ $1+1=2$ $1+2=3$ $1+3=4$ $1+4=5$ $1+5=6$ $1+6=7$ $1+7=8$ $1+8=9$ $1+9=10$ $1+10=11$	$2$ 嘅加法 $2+0=2$ $2+1=3$ $2+2=4$ $2+3=5$ $2+4=6$ $2+5=7$ $2+6=8$ $2+7=9$ $2+8=10$ $2+9=11$ $2+10=12$	$3$ 嘅加法 $3+0=3$ $3+1=4$ $3+2=5$ $3+3=6$ $3+4=7$ $3+5=8$ $3+6=9$ $3+7=10$ $3+8=11$ $3+9=12$ $3+10=13$	$4$ 嘅加法 $4+0=4$ $4+1=5$ $4+2=6$ $4+3=7$ $4+4=8$ $4+5=9$ $4+6=10$ $4+7=11$ $4+8=12$ $4+9=13$ $4+10=14$	$5$ 嘅加法 $5+0=5$ $5+1=6$ $5+2=7$ $5+3=8$ $5+4=9$ $5+5=10$ $5+6=11$ $5+7=12$ $5+8=13$ $5+9=14$ $5+10=15$
$6$ 嘅加法 $6+0=6$ $6+1=7$ $6+2=8$ $6+3=9$ $6+4=10$ $6+5=11$ $6+6=12$ $6+7=13$ $6+8=14$ $6+9=15$ $6+10=16$	$7$ 嘅加法 $7+0=7$ $7+1=8$ $7+2=9$ $7+3=10$ $7+4=11$ $7+5=12$ $7+6=13$ $7+7=14$ $7+8=15$ $7+9=16$ $7+10=17$	$8$ 嘅加法 $8+0=8$ $8+1=9$ $8+2=10$ $8+3=11$ $8+4=12$ $8+5=13$ $8+6=14$ $8+7=15$ $8+8=16$ $8+9=17$ $8+10=18$	$9$ 嘅加法 $9+0=9$ $9+1=10$ $9+2=11$ $9+3=12$ $9+4=13$ $9+5=14$ $9+6=15$ $9+7=16$ $9+8=17$ $9+9=18$ $9+10=19$	$10$ 嘅加法 $10+0=10$ $10+1=11$ $10+2=12$ $10+3=13$ $10+4=14$ $10+5=15$ $10+6=16$ $10+7=17$ $10+8=18$ $10+9=19$ $10+10=20$

十進制加法

第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法，再到百位數（三位數）。當人習慣呢套加法嗰時，佢哋就會悟出下面呢套加法規則，令到自己更快做到加法：

可溝通性： $a+b=b+a$ ，咁如果利用加法表學加法，原本要背 $100$ 條加法式，而家就只需要背 $55$ 條。
淨係加 $1$ 同 $2$ ：淨係加 $1$ 或者 $2$ 對人嚟講係好自然，基本上唔使背都會識得做。
零：因為 $10$ 係恆等元，加咗佢即係無加過嘢，對好多人嚟講都係廢。
乘二：一個數自己相加，變相係乘二，如果學習埋乘法，多數人會直接跳用乘法，而唔用加法。
好似乘二：如果兩個數係好近，例如： $6+7$ 同 $6+5$ ，一般會將個數乘二再減返個差，睇返個例子，就會將 $6\times 2+1=12+1=13$ ， $6\times 2-1=12-1=11$ 。
利用 $10$ ：例如： $6+7$ ，就可以將佢寫成 $10+3$ ，咁就會計快啲。

當人愈大，處理加法嘅速度會係相應加快。

進位

基本多位數嘅加法，會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數，根據佢哋個位排好，由右到左，最右面係個位數，之後到十位數，再到百位數，如似類推。之後，逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例， $27+59$ 就可以表達出進位呢個概念。

  ¹
  27
+ 59
————
  86

如果睇 $7+9=16$ 呢個例子，個 $1$ 就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外，重有好多其他方法去做加法。例如：直接由左面加起，再估計出兩個數字相加大約係幾多。

小數點加法

小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式，將兩個數字打直並排，但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以「補零」去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。

舉個例，將 $45.1+4.34$ ：

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

喺呢個例子入面，補咗一個零喺45.1後面，變成45.10，之後先至開始計加數。

指數記數法

利用指數記數法，又叫科學記數法，數字會寫到為最簡約嘅方式，將數字分開一半，一半係有效數字，另一半係以 $10$ 為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。

例子： $2.4\times 10^{5}$ 同 $6.89\times 10^{5}$ 就可以直接相加，變成 $9.29\times 10^{5}$ 。

但係 $2.4\times 10^{5}$ 同 $68.9\times 10^{4}$ 就唔可以直接相加，要將 $68.9\times 10^{4}$ 寫成 $6.89\times 10^{5}$ ，先可以相加。

其他進制加法

除咗十進制之外，重有二進制，八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制，都可以進行到加法，而且步驟同上面嘅差唔多，只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。

如果學電腦科學嘅話，轉換二進制係一定要識，以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制：

128	64	32	16	8	4	2	1	0
10000000	1000000	100000	10000	1000	100	10	1	0

以上呢個表都可以幫助做二進制嘅加法。

二進制就逢二進一。

舉個例：

$1_{2}+1_{2}=10_{2}$

$101010_{2}+110101_{2}=1011111_{2}$

數字加法

用加法之前，一定要證明呢個加法係完美定義（Well-define）好。因為喺數學嘅世界，加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數（ $\mathbb {N}$ ）。喺集合論入面，加法係將個集整大嘅一個處理，例如用自然數整整數（ $\mathbb {Z}$ ）、有理數（ $\mathbb {Q}$ ）同實數（ $\mathbb {R}$ ）。喺數學教育同埋數學史入面，正分數係早出現過負數。

自然數

加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數（基數即係個集入面有幾多嚿嘢）嚟做定義。另一個，比較接近日常加法。

如果自然數係用嚟做一個有限集嘅基數，即係話集 $A$ 嘅基數係 $1$ ， $B$ 嘅基數係 $2$ 。佢哋兩個嘅加法可以咁定義：

「設 $N(S)$ 做集 $S$ 嘅基數。咁兩個唔相交集 $A,B$ ， $N(A)=a,N(B)=b$ ，嘅聯合 $a+b$ ，就係 $N(A\cup B)$ 。」

$A\cup B$ 就係兩個集 $A$ 同 $B$ 嘅聯合。另一個版本嘅定義，可以接受呢兩個集係有相交，咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先，再將兩個集聯合，咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。

整數

Grothendieck嘅整數加法表示。

最簡單嘅整數概念就係絕對值或者係自然數，再加多一個正負號（正號或者負號）。整數零係一個特別嘅存在，佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義：

「對應任何整數 $n$ ， $|n|$ 係佢嘅絕對值。同時， $a$ 同 $b$ 係整數。如果 $a$ 或者 $b$ 係零，咁就當佢係恆等元（Identity）。如果 $a$ 同 $b$ 都係正數，咁定義 $a+b=|a|+|b|$ 。如果 $a$ 同 $b$ 都係負數，咁 $a+b=-(|a|+|b|)$ 。如果 $a$ 同 $b$ 係唔同正負，咁就要定義 $a+b$ 做 $|a|$ 同 $|b|$ 之差，之後邊一個絕對值大啲，咁佢嗰個正負號，就係答案嘅正負號。」

舉個例子，如果有 $-2$ 同 $5$ ，咁 $-2+5$ 就係 $|5|-|-2|=|5|-|2|=3$ ，因為 $|5|>|-2|$ ，所以個答案係 $3$ 。如果有 $-10$ 同 $5$ ，咁 $-10+5$ 就係 $|-10|-|5|=10-5=5$ ，因為 $|-10|>|5|$ ，所以個答案係 $-5$ 。

用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以，但一去到複雜少少嘅問題，呢個定義有多可能性要考慮，就會令到成件事變得更加複雜。

比較常用或者方便嘅定義方法，就係利用高分迪群（Grothendieck Group）呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義，係用一個好基本法則，就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差，呢個寫法唔係獨有，即係 $-1=2-3$ 同時 $-1=1-2$ 。因此，整數可以定義為兩個自然數之差，加法又可以兼容埋減法：

「有兩個整數 $a-b$ 同 $c-d$ ， $a,b,c,d$ 都係自然數。定義 $(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$ 」

有理數（分數）

有理數，即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加，如果分母唔相同，咁就唔可以直接相加。

例子： ${\frac {1}{2}}$ 同 ${\frac {1}{3}}$ 分母唔一樣，所以唔可以直接相加。

例子： ${\frac {5}{6}}$ 同 ${\frac {1}{6}}$ 分母一樣，可以直接相加，得出 ${\frac {6}{6}}=1$ 。

如果兩個分數分母唔相同，咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字，佢嘅數值係冇變，一般通分母會利用最小公倍數去處理。以 ${\frac {7}{9}}$ 同 ${\frac {1}{2}}$ 做例， $9$ 同 $2$ 嘅最小公倍數係 $18$ ，所以；

${\begin{aligned}{\frac {7}{9}}+{\frac {1}{2}}&={\frac {7\times 2}{9\times 2}}+{\frac {1\times 9}{2\times 9}}\\&={\frac {14}{18}}+{\frac {9}{18}}\\&={\frac {14+9}{18}}\\&={\frac {23}{18}}\end{aligned}}$

將以下情況用代數表示，可以得出有理數加法嘅定義：

「 ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ 」

舉個例子： ${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}={\frac {3\times 3+5\times 2}{3\times 5}}={\frac {9+10}{15}}={\frac {19}{15}}$

虛數

將虛數當做向量咁整。

虛數嘅加法係將實嘅部分相加，虛嘅部分相加，所以可以咁樣定義：

「 $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ 」

其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸（x-axis），虛部分當做縱軸（y-axis），就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面，右面呢個係一個平行四邊形。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴嘅頭叫做 $A,B,C$ ，個尾叫做 $O$ ，咁 $\bigtriangleup OAB$ 係全等於 $\bigtriangleup CBA$ 。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。

高等數學應用

有好多二元運算都可以當做實數加法嘅伸展，或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數入面，代數場就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展，同時佢哋都會喺集合論同埋表示論出現。

抽象代數入面嘅加法

向量加法

喺線性代數入面，一個向量空間係一種代數結構。喺呢個空間入面，兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法好似嘅重有實數坐禁加法，一個坐禁 $(x,y)$ 就係一支喺 $(x,y)$ 平面上面嘅向量，同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義：

「 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ 」

矩陣加法

兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個「形狀」（Dimension），即係話，行同列嘅數量都要一樣。兩個 $m\times n$ 嘅矩陣 $A$ 同 $B$ 相加之後，會用 $A+B$ 表示，都係一個 $m\times n$ 矩陣，做法係將對應位置嘅數字相加：

「 $A+B={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m2}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}$ 」

舉個例：

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3\\4&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&5\\7&9\end{bmatrix}}$

同餘加法

喺商數學入面，將整數 ${\text{mod }}12$ 之後嗰個集就最多只有 $12$ 嚿嘢，咁佢入面就會有一個加法，而對應喺音樂入面，五線譜嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數 ${\text{mod }}2$ ，得出一個得兩嚿嘢嘅集， $\{0,1\}$ ，咁佢入面嘅加法就同邏輯代數入面嘅Exclusive or一樣。喺幾何學入面，兩個角度相加，就係一定係實數入面 ${\text{mod }}2\pi$ 入面嘅嘢。

日常加法

喺基本嘅抽象代數入面，一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有：阿標群。

將集合併

將兩個集合埋。

加法可以將集合併，呢個都係加法入面最簡單嘅功能。

「當有兩個或以上咁多集要合併成一個，得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」

呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示，就好似右手面張圖咁。兩個集，各自有 $3$ 同 $2$ 咁多嚿嘢，合併完之後個集就有 $5$ 嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯，所以去到高等數學，一個嚴謹定義加法嘅方法，可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟，就好似上面嘅自然數定義。同時，有咗呢個定義，去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。

原來係

2

咁長，而家伸展多

4

咁多，咁總共就有

6

咁長。

伸展距離

另一個加法嘅功能就係伸長個距離：

「當一條嘢俾人加長，咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」

用代數嘅角度睇， $a+b$ 嘅和，喺二元運算入面就係將 $a$ 同 $b$ 合併埋一齊。用另一個角度睇， $a+b$ 可以理解做加 $a$ 咁多嘢落 $b$ 嗰到。

睇埋

參考

↑ From Enderton (p. 138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
↑ "Addition". www.mathsisfun.com. 喺2020-08-25搵到.
↑ Devine et al. p. 263
↑ Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161

[1] From Enderton (p. 138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."

[2] "Addition". www.mathsisfun.com. 喺2020-08-25搵到.

[3] Devine et al. p. 263

[4] Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161

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