保西奴-華實斯定理

保西奴-華實斯定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）係一條嗚數學分析同拓樸學上面都係一條極重要嘅定理。佢係利用到增減數列同子數列嘅關係而形成。

個名源自兩個十九世紀數學家Bernard Bolzano同埋Karl Weierstrass，1817年首先由前者證明。

增減子數列存在定理

增減數列同子數列嘅關係，就係每一個數列入面都會有一條子數列同時佢係一條增減數列。

證明：

假設數列入面第 $m$ 項係最高點，即係話第 $m$ 項會係數列入面數值最高嗰一個項，之後無一個項係高過佢，即係 $x_{m}\geq x_{n},\,\forall n\geq m$ 。

即係話，一條數列係遞減數列嘅話，每一點都係最高點。相反，每一點都唔係最高點。

數列只可以分成有無限咁多個最高點，或者得有限咁多個最高點，兩類。

第一類；假設數列係有無限咁多最高點，咁只要揀曬佢嘅最高點出黎，就得出 $x_{m_{1}}\geq x_{m_{2}}\geq \cdots \geq x_{m_{k}}\geq \cdots$ 由此，可以得出一條遞減嘅子數列。

第二類；假設數列係得有限個最高點，咁首先搵曬佢嘅最高點出嚟， $x_{m_{1}},{m_{2}},\cdots ,x_{m_{k}}$ 將所有最高點之後嘅一個項叫做 $x_{s_{1}}$ 。

因為 $x_{s_{1}}$ 唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做 $x_{s_{2}}$ ，咁即係 $x_{s_{1}}\leq x_{s_{2}}$ 。

因為 $x_{s_{2}}$ 唔係最高點，所以之後一定會有一項係大過佢，叫佢做 $x_{s_{3}}$ ，咁姐係 $x_{s_{2}}\leq x_{s_{3}}$ 。

如此類推，就會得出一個增長嘅子數列。

保西奴-華實斯定理

一個被綁定嘅實數列一定會有一個子數列係趨向一點。

證明一

因為增減子數列存在定理，所以數列一定會有一條增減子數列。

假設左數列係被綁定，因此佢嘅增減子數列都一定係被綁定。

利用增減趨向定理，咁呢條增減子數列一定趨向一點。

證明二

需要利用套間證明。

因為數列 $(x_{n})$ 係被綁定，咁佢一定有一個最小上界限同最大下界限，即係 $a:=\inf\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ 同埋 $b:=\sup\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ 。

將 $a$ 同 $b$ 組成一個間距 $I_{1}:=[a,b]$ 。

將 $n_{1}:=1$ ，然後將 $I_{1}$ 斬開兩等分，即係 $I_{1}'$ 同 $I_{1}''$ 。而將 $(x_{n})$ 大過一嘅項數 $\{n\in \mathbb {N} :n>1\}$ 分開做， $A_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}'\}\quad B_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{1}=1,x_{n}\in I_{1}''\}$ 咁明顯，其中一面 $A_{1}$ 或者 $B_{1}$ 係有無限咁多點。假設 $A_{1}$ 係有無限咁多點，

將 $n_{2}$ 定義為 $A_{1}$ 入面項數最細嗰一項。即係 $A_{1}$ 入面有 $\{x_{3},x_{2},x_{5},x_{11},\cdots \}$ ，咁 $n_{2}:=2$ 。

將 $I_{2}:=I_{1}'$ ，之後再將 $I_{2}$ 斬開兩等分，即係 $I_{2}'$ 同 $I_{2}''$ 。而再將 $A_{1}$ 嘅數分開， $A_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}'\}\quad B_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :n>n_{2},x_{n}\in I_{2}''\}$ 同樣原理，咁其中一面 $A_{2}$ 或者 $B_{2}$ 係有無限咁多點。假設 $A_{2}$ 係有無限咁多點，

將 $n_{3}$ 定義為 $A_{2}$ 入面項數最細嗰一項。

如似類推，就會有一個套間， $I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq \cdots \supseteq I_{k}\supseteq \cdots$ 。而同時，佢嘅子數列 $(x_{n_{k}})$ 都會有 $k\in \mathbb {N}$ 項係喺第 $k$ 嘅間距入面。姐係 $x_{n_{k}}\in I_{k},\,\forall k\in \mathbb {N}$ 。

同時，因為每次都將個間距等分兩份，所以間距嘅長度就會係 ${\frac {b-a}{2^{k-1}}}$ 。

利用套間定理，得知有一個點 $\xi \in I_{k}$ 係喺所有嘅間距入面，即係 $\xi \in I_{k},\,\forall k\in \mathbb {N}$ 。

因為 $\xi \in I_{k}$ 同 $x_{n_{k}}\in I_{k}$ 都係喺 $I_{k}$ 入面，所以可以知道 $|x_{n_{k}}-\xi |\leq {\frac {b-a}{2^{k-1}}}$ 因為 $k$ 變到好大嘅時候， ${\frac {b-a}{2^{k-1}}}$ 可變成任意嘅數。