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保西奴-華實斯定理Bolzano-Weierstrass Theorem)係一條嗚數學分析拓樸學上面都係一條極重要嘅定理。佢係利用到增減數列子數列嘅關係而形成。

個名源自兩個十九世紀數學家Bernard Bolzano同埋Karl Weierstrass,1817年首先由前者證明。

增減子數列存在定理

增減數列同子數列嘅關係,就係每一個數列入面都會有一條子數列同時佢係一條增減數列。

證明:

假設數列入面第 項係最高點,即係話第 項會係數列入面數值最高嗰一個項,之後無一個項係高過佢,即係 

即係話,一條數列係遞減數列嘅話,每一點都係最高點。相反,每一點都唔係最高點。

數列只可以分成有無限咁多個最高點,或者得有限咁多個最高點,兩類。

第一類;假設數列係有無限咁多最高點,咁只要揀曬佢嘅最高點出黎,就得出

 
由此,可以得出一條遞減嘅子數列。

第二類;假設數列係得有限個最高點,咁首先搵曬佢嘅最高點出嚟,

 
將所有最高點之後嘅一個項叫做 

因為 唔係最高點,所以之後一定會有一項係大過佢,叫佢做 ,咁即係 

因為 唔係最高點,所以之後一定會有一項係大過佢,叫佢做 ,咁姐係 

如此類推,就會得出一個增長嘅子數列。

保西奴-華實斯定理

一個被綁定嘅實數列一定會有一個子數列係趨向一點。

證明一

因為增減子數列存在定理,所以數列一定會有一條增減子數列。

假設左數列係被綁定,因此佢嘅增減子數列都一定係被綁定。

利用增減趨向定理,咁呢條增減子數列一定趨向一點。

證明二

需要利用套間證明。

因為數列 係被綁定,咁佢一定有一個最小上界限最大下界限,即係 同埋 

  組成一個間距 

 ,然後將 斬開兩等分,即係  。而將 大過一嘅項數 分開做,

 
咁明顯,其中一面 或者 係有無限咁多點。假設 係有無限咁多點,

 定義為 入面項數最細嗰一項。即係 入面有 ,咁 

 ,之後再將 斬開兩等分,即係  。而再將 嘅數分開,

 
同樣原理,咁其中一面 或者 係有無限咁多點。假設 係有無限咁多點,

 定義為 入面項數最細嗰一項。

如似類推,就會有一個套間 。而同時,佢嘅子數列 都會有 項係喺第 嘅間距入面。姐係 

同時,因為每次都將個間距等分兩份,所以間距嘅長度就會係 

利用套間定理,得知有一個點 係喺所有嘅間距入面,即係 

因為  都係喺 入面,所以可以知道

 
因為 變到好大嘅時候, 可變成任意嘅數。

所以, 

推論

如果一條數列係被綁定,而佢嘅所有子數列都係趨向一點 ,咁呢條數列係趨向同一點 

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