雙曲函數

雙曲函數係種類似三角函數嘅函數。最基本嘅雙曲函數係雙曲正弦函數（sinh）同雙曲餘弦函數（cosh），再由佢哋導出雙曲正切函數（tanh）、雙曲餘切函數（coth）、雙曲正割函數（sech）、雙曲餘割函數（csch）。雙曲函數嘅反函數係反雙曲函數。

雙曲函數

用幾何方式比較三角函數同雙曲函數嘅動畫。紅色線係x² + y² = 1（單位圓），而藍色線係x² - y² = 1（單位雙曲線）。紅色標記係(cos(θ),sin(θ))同(1,tan(θ))兩點，而藍色標記就係(cosh(θ),sinh(θ))同(1,tanh(θ))。紅色同藍色陰影面積都一樣係θ/2

定義

雙曲函數可以用幾種唔同嘅方法定義。

指數函數定義

• 雙曲正弦：

  $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$

• 雙曲餘弦：

  $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$

• 雙曲正切：

  $\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$

• 雙曲餘切（x ≠ 0嘅時候）：

  $\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}$

• 雙曲正割：

  $\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}$

• 雙曲餘割（x ≠ 0嘅時候）：

  $\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}$

微分定義

雙曲正弦同雙曲餘弦分別係以下一組微分方程入面(s, c)嘅解：

${\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}$

而 s(0) = 0同c(0) = 1。

另外，佢哋又分別乎合方程式f ″(x) = f (x)： 雙曲正弦要求f (0) = 1, f ′(0) = 0，而雙曲餘弦f (0) = 0, f ′(0) = 1。

三角函數定義

雙曲函數又可以將複數放入三角函數度得出：

• 雙曲正弦：

  $\sinh x=-i\sin(ix)$

• 雙曲餘弦：

  $\cosh x=\cos(ix)$

• 雙曲正切：

  $\tanh x=-i\tan(ix)$

• 雙曲餘切：

  $\coth x=i\cot(ix)$

• 雙曲正割：

  $\operatorname {sech} x=\sec(ix)$

• 雙曲餘割：

  $\operatorname {csch} x=i\csc(ix)$

i 喺 單位虛數 ，即係$i={\sqrt {-1}}$。

呢啲用複數嘅定義係由歐拉公式推出嚟嘅。

泰勒展開式

上面呢幾個雙曲函數又可以化做泰勒展開式：

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

函數sinh x淨係有x嘅單數次方，所以佢係一個單函數，即係−sinh x = sinh(−x)同埋sinh 0 = 0。

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

函數cosh x淨係有x嘅雙數次方，所以佢係一個雙函數，即係佢喺y軸兩邊成對稱。函數sinh同cosh兩個展開式加埋就係指數函數嘅無限級數。

${\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}$

而:

$B_{n}\,$係第n個白努利數

$E_{n}\,$係第n個歐拉數