雙曲函數係種類似三角函數函數。最基本嘅雙曲函數係雙曲正弦函數sinh)同雙曲餘弦函數cosh),再由佢哋導出雙曲正切函數tanh)。雙曲函數嘅反函數反雙曲函數

雙曲函數
用幾何方式比較三角函數同雙曲函數嘅動畫。紅色線係x² + y² = 1(單位圓),而藍色線係x² - y² = 1(單位雙曲線)。紅色標記係(cos(θ),sin(θ))(1,tan(θ))兩點,而藍色標記就係(cosh(θ),sinh(θ))(1,tanh(θ))。紅色同藍色陰影面積都一樣係θ/2

定義

雙曲函數可以用幾種唔同嘅方法定義。

指數函數定義

  • 雙曲正弦:
     
  • 雙曲餘弦:
     
  • 雙曲正切:
     
  • 雙曲餘切(x ≠ 0嘅時候):
     
  • 雙曲正割:
     
  • 雙曲餘割(x ≠ 0嘅時候):
     

微分定義

雙曲正弦同雙曲餘弦分別係以下一組微分方程入面(s, c)

 

s(0) = 0c(0) = 1

另外,佢哋又分別乎合方程式f ″(x) = f (x): 雙曲正弦要求f (0) = 1, f ′(0) = 0,而雙曲餘弦f (0) = 0, f ′(0) = 1

三角函數定義

雙曲函數又可以將複數放入三角函數度得出:

  • 雙曲正弦:
     
  • 雙曲餘弦:
     
  • 雙曲正切:
     
  • 雙曲餘切:
     
  • 雙曲正割:
     
  • 雙曲餘割:
     

i單位虛數 ,即係 

呢啲用複數嘅定義係由歐拉公式推出嚟嘅。

泰勒展開式

上面呢幾個雙曲函數又可以化做泰勒展開式

 

函數sinh x淨係有x嘅單數次方,所以佢係一個單函數,即係−sinh x = sinh(−x)同埋sinh 0 = 0。

 

函數cosh x淨係有x嘅雙數次方,所以佢係一個雙函數,即係佢喺y軸兩邊成對稱。函數sinh同cosh兩個展開式加埋就係指數函數無限級數

 

而:

 係第n白努利數
 係第n歐拉數