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極限 (數列)

(由數列極限跳轉過來)
呢篇文係講數列嘅極限,唔係講函數極限

數列嘅極限(Limit of Sequence)係數學分析一個簡單同基本嘅概念。

定義

數列嘅極限有幾個唔同嘅定義,下面呢個係最基本,最通用嘅其中一個。

假設有一串實數( )數列 。如果以下條件成立,

「揀任何一個 ,佢都會有一個自然數 ,使到任何一個 ,佢係 符合 

數學家會講 趨向(converge)一點 ,同埋 係叫做 嘅極限(Limit)。

如果一串數列係有極限嘅話,我哋會話佢「趨向一點」(convergent)。有人會用 嚟表示 趨向呢點 

如果一串數列係無極限嘅話,我哋會話佢「唔趨向一點」(divergent)

概念

假設有一條數列 同時佢趨向呢點 。你畀出一個任意嘅 

將每一個項都減佢趨向個點, 

當條數列嘅第一項符合 ,叫呢項做 。咁之後呢個項之後嘅項都會符合  

例子

 ,明顯地 係趨向 。畀一個任意嘅 

得知 。因此, 由第一項就符合定義性質。

性質

獨特性質

一串實數( )數列 只可以有一點極限。

證明:

假設 都係 嘅極限。

根據定義,揀任何一個 ,都會有

 ,使到任何一個 佢係 ,符合 

 ,使到任何一個 佢係 ,符合 

揀一個大啲嘅 ,使到 

利用三角形不等式,得知

 

因為 係自己揀嘅,任何一個都得,所以推論到 

綁定定義

假設有一串實數( )數列 。如果有一個實數 ,令到任何一個 符合 。咁樣我哋會話 係被「綁定」(Bounded)。

綁定性質

任何一申會趨向一點嘅數列都係被綁定。

證明:

假設 係趨向一點 ,即係 

 ,根據定義,一定會一個 ,令到所有 符合 

利用三角形不等式,得知

 

 。咁樣 就會係呢串數列入面最大嗰個數字,因為第 嘅項會細過 ,之後喺第 項同之前嘅加埋 入面揀個最大嘅,叫佢做 

咁樣呢串數就一定會細過 ,即係 

排序性質

如果  係各自趨向一點,以下三個特性係啱嘅:

  •  ,咁樣 
  •  ,咁樣 
  •  ,咁樣 
證明:

(第一點) 假設第一點嘅結論唔成立,即係話 趨向嗰點 

 ,注意呢個 係正數。

因為 係趨向一點,所以一定會有一個 ,令到任何第 符合,

 

淨係睇第 項,得知 

因為假設咗第一點係唔成立,所以 

(第二點) 假設 同時假設任何一項 

 

因為極限計算性質,得知 

因為第一點得知, 

因此, 

(第三點) 假設 ,利用上者得出 

 同時將 ,利用上者得出 

合併上面兩條式, 

極限計算

假設有兩串趨向一點嘅數列  。假設有一點 。咁以下嘅式就會成立:

  •  
  •  
  •  

再假設有串趨向一點嘅數列 ,而 。咁樣

  •  
證明:

(第一同第二點)假設有兩串趨向一點嘅數列  。根據定義得出,揀任何一個 ,都會有

 ,使到任何一個 佢係 ,符合 

 ,使到任何一個 佢係 ,符合 

揀一個大啲嘅 ,使到 

利用三角形不等式,得知

 

 

(第三點) 因為綁定性質,所以得知有一個 ,令到任何一個 符合 

定義 ,根據定義得出,揀任何一個 ,都會有

 ,使到任何一個 佢係 ,符合 

 ,使到任何一個 佢係 ,符合 

再揀一個大啲嘅 ,使到 

 

(第四點)  如果 ,咁樣 。如果證明到呢個係啱嘅話,利用上面就可以證明到 

 ,根據定義,一定會一個 ,令到所有 符合 。再利用三角形不等式

 

因為 都係正數,咁就得出, 

 ,根據定義,一定會一個 ,令到所有 符合 

將兩串數例合併,定義 ,咁令到所有嘅 符合

 

因此, 

例子

計算 

  

利用加法計算, 

因為 ,同埋 

因此, 

推論

由上面嘅嘢,可以推論到以下嘅嘢都係啱嘅:

  •  
  •  
  •  

夾縫定理

假設有三串實數( )數列,   ,對應任何嘅 符合 ,同時 嘅話, 趨向一點,而 

證明:

假設 ,根據定義,有一個對應既 ,係每一個 項入面,都符合

 同埋 

上面 ,可以得出 ;同時 ,可以得出 

同時對應呢個 ,根據假設得出,

 

因此得出 ,根據定義,對應嘅 ,喺每一個 項入面,都符合 

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