拉普拉斯變換 (簡稱拉氏變換 ),又叫拉普拉斯轉換 (簡稱拉氏轉換 ),係應用數學 入面一種積分變換 ,符號係
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
,由法國數學家拉普拉斯 研究出。呢種變換有用之處係佢可以將一啲微分方程 變成一啲相對簡單嘅代數方程 ,搵到代數方程嘅解之後就可以用拉普拉斯逆變換 (
L
−
1
{
F
(
s
)
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}\left\{F(s)\right\}}
)得到微分方程嘅解。如果除咗條微分方程之外,仲有一啲預設條件(例如搵緊嘅函數喺零點 嘅值),可以搵到唯一解。
假設有一個
t
{\displaystyle t}
(通常指時間)嘅函數
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
,佢嘅拉普拉斯變換
F
(
s
)
=
L
{
f
(
t
)
}
{\displaystyle F(s)=\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
定義做:
F
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}
喺呢度
t
∈
R
,
s
∈
C
{\displaystyle t\in \mathbb {R} ,s\in \mathbb {C} }
。
積分上下界限可以推至無窮 ,構成無窮積分 。噉樣就寫成雙邊拉普拉斯變換:
B
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
−
∞
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
隻積分收斂若且唯若 以下兩隻積分
∫
0
∞
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
,
∫
−
∞
0
e
−
s
t
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}
都存在。
拉普拉斯變換嘅變數係
s
=
σ
+
i
ω
{\displaystyle s=\sigma +i\omega }
,所以經典嘅連續傅利耶變換 可以睇作係雙邊拉普拉斯變換喺
σ
=
0
{\displaystyle \sigma =0}
、即
s
=
i
ω
{\displaystyle s=i\omega }
抑係話
s
=
2
π
f
i
{\displaystyle s=2\pi fi}
嗰陣嘅特例。
f
^
(
ω
)
=
F
{
f
(
t
)
}
=
L
{
f
(
t
)
}
|
s
=
i
ω
=
F
(
s
)
|
s
=
i
ω
=
∫
−
∞
∞
e
−
i
ω
t
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}}
喺複平面上,連續傅利耶變換對應拉普拉斯變換嘅虛軸。
反過嚟睇,拉普拉斯變換可以睇作係傅利耶變換帶指數加權
e
−
σ
{\displaystyle e^{-\sigma }}
嘅拓展情況。呢個指數加權會作用到個變換嘅收斂域 上,令到一啲喺傅利耶變換當中唔收斂嘅結果可以收斂返。
Z變換 表達式係:
X
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
x
[
n
]
z
−
n
{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}
Z變換當中令
z
=
e
s
T
{\displaystyle z=e^{sT}}
之後,就可以睇作係拉普拉斯變換加上採樣(採樣時間間隔
T
{\displaystyle T}
)之後嘅結果:
X
q
(
s
)
=
X
(
z
)
|
z
=
e
s
T
.
{\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}
解微分方程
x
¨
−
x
˙
−
2
x
=
0
{\displaystyle {\ddot {x}}-{\dot {x}}-2x=0}
,其中
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
係
t
{\displaystyle t}
嘅一個連續函數 ,
x
(
0
)
=
1
{\displaystyle x(0)=1}
,
x
˙
(
0
)
=
0
{\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}
[ 4]
x
¨
−
x
˙
−
2
x
=
0
{\displaystyle {\ddot {x}}-{\dot {x}}-2x=0}
L
{
x
¨
−
x
˙
−
2
x
}
=
L
{
0
}
{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\ddot {x}}-{\dot {x}}-2x\right\}=\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{0\right\}}
s
2
X
(
s
)
−
s
x
(
0
)
−
x
˙
(
0
)
−
[
s
X
(
s
)
−
x
(
0
)
]
−
2
X
(
s
)
=
0
{\displaystyle s^{2}X(s)-sx(0)-{\dot {x}}(0)-[sX(s)-x(0)]-2X(s)=0}
s
2
X
(
s
)
−
s
(
1
)
−
0
−
s
X
(
s
)
+
1
−
2
X
(
s
)
=
0
{\displaystyle s^{2}X(s)-s(1)-0-sX(s)+1-2X(s)=0}
(
s
2
−
s
−
2
)
X
(
s
)
=
s
−
1
{\displaystyle (s^{2}-s-2)X(s)=s-1}
X
(
s
)
=
s
−
1
(
s
+
1
)
(
s
−
2
)
{\displaystyle X(s)={\frac {s-1}{(s+1)(s-2)}}}
搵到進行咗拉普拉斯變換嘅函數
X
(
s
)
{\displaystyle X(s)}
,就要嘗試將佢變番做原本嘅函數
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
。但係,因為拉普拉斯變換表冇一個呢種樣嘅函數,所以首先要將佢拆開做兩個分數,當佢哋係
a
s
−
2
{\displaystyle {\frac {a}{s-2}}}
同埋
b
s
+
1
{\displaystyle {\frac {b}{s+1}}}
。
X
(
s
)
{\displaystyle X(s)}
=
s
−
1
(
s
+
1
)
(
s
−
2
)
{\displaystyle ={\frac {s-1}{(s+1)(s-2)}}}
=
a
s
−
2
+
b
s
+
1
{\displaystyle ={\frac {a}{s-2}}+{\frac {b}{s+1}}}
∴
{
a
+
b
=
1
⋯
(
1
)
a
−
2
b
=
−
1
⋯
(
2
)
{\displaystyle \therefore {\begin{cases}a+b=1\cdots (1)\\a-2b=-1\cdots (2)\end{cases}}}
(
1
)
−
(
2
)
:
3
b
=
2
{\displaystyle (1)-(2):3b=2}
b
=
2
3
{\displaystyle b={\frac {2}{3}}}
將
b
=
2
3
{\displaystyle b={\frac {2}{3}}}
塞入
(
1
)
{\displaystyle (1)}
式:
a
+
2
3
=
1
{\displaystyle a+{\frac {2}{3}}=1}
a
=
1
3
{\displaystyle a={\frac {1}{3}}}
∴
X
(
s
)
=
1
3
(
s
−
2
)
+
2
3
(
s
+
1
)
{\displaystyle \therefore X(s)={\frac {1}{3(s-2)}}+{\frac {2}{3(s+1)}}}
依家睇番個表做拉普拉斯逆變換:
x
(
t
)
=
1
3
e
2
t
+
2
3
e
−
t
{\displaystyle x(t)={\frac {1}{3}}e^{2t}+{\frac {2}{3}}e^{-t}}
計完之後再檢查下,搞掂。
↑ Bracewell 2000 , Table 14.1, p. 385
↑ Lipschutz, S.; Spiegel, M. R.; Liu, J. (2009), Mathematical Handbook of Formulas and Tables , Schaum's Outline Series (第3版), McGraw-Hill, p. 183, ISBN 978-0-07-154855-7 – provides the case for real q .
↑ http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html – Wolfram Mathword provides case for complex q
↑ https://www.math.ust.hk/~machas/differential-equations.pdf - p.58