簡諧運動

簡諧運動（粵拼：gaan2 haai4 wan6 dung6）係力學上成日會講到嘅一種週期性嘅郁動，係振盪嘅一種。用日常用語講嘅話，簡諧運動係指一股力係噉作用喺一件沿直線郁動嘅物體身上，而呢股力嘅數值大細同件物體離一個中心點嘅位移成正比，而且同個位移方向相反，所以嚿物體一離開個中心點就會受到股力推佢返去中心點嗰度，用數學方程式表達即係^[1]：

F_{s}=-kx

（胡克定律；Hooke's law）

當中 $F_{s}$ 係股作用力， $x$ 係嚿物體離個中心點嘅位移，而 $k$ 係個常數。舉個簡化嘅例子，想像家陣有嚿物體駁住條彈弓喺度彈上彈落（好似附圖噉），彈弓呢樣嘢嘅特徵係一旦俾某啲力拉長或者撳短，就會施返股力嚟令自己返去原本長度，所以嚿物體一離開中心點（搞到條彈弓拉長咗或者撳短咗），條彈弓就會施力令自己返去中心點嗰陣嘅長度，於是就令到嚿物體係噉重複彈上彈落。如果摩擦力唔存在，上述嘅過程可以永遠噉一路進行落去^[1]^[2]。

簡諧運動嘅概念好有用：簡諧運動嘅現象响彈弓同埋好多嘢嘅振盪嗰度都會睇得到；除咗噉，簡諧運動仲有得用嚟大致上噉模擬到好多其他嘅自然現象，包括咗係擺嘅擺動同埋係分子嘅震動呀噉。因為噉，簡諧運動嘅概念喺物理學同工程學嘅多個領域上都會用到^[3]^[4]。

簡諧運動喺英文入便個名叫 simple harmonic motion，簡稱 SHM。

定義

簡諧運動定義上係郁動嘅一種，而呢種郁動涉及^[1]：

一件物體沿住一條直線（打橫、打棟定係打鈄都得），喺條直線嘅兩個極點之間來來去去噉郁動；而且
喺成個過程入面，件物體都會一路受住一股力，呢股力喺方向上永遠都向住兩個極點之間嘅某個定死咗嘅點（平衡點；equilibrium position）嗰度，而且股力喺數值上同件物體離平衡點嘅位移成正比嘅。

例如一嚿駁住條彈弓嘅嘢彈嚟彈去就係簡諧運動嘅一個例子。好似下圖噉嘅樣：

根據胡克定律（Hooke's law），一條彈弓嘅長度離自己嘅自然長度愈遠（即係俾人拉長或者撳短得愈犀利），條彈弓就會施股愈勁嘅力嚟回復原本嗰個長度。呢條定律用數學方程式嚟表達嘅話係^[5]^[6]：

F=-kx

喺呢條式入面，

$F$ 係條彈弓施嚟令自己返去原本長度嘅力，以牛頓做單位；
$x$ 係條彈弓嘅長度改變咗幾多，以米做單位；而
$k$ 呢個常數就反映咗條彈弓嘅剛度（stiffness）， $k$ 掕住個負號係因為彈弓產生嗰股力係條彈弓施嚟回復到去佢本嚟個長度嘅，所以股力同個長度嘅改變實係方向相反嘅。

拉長咗

用胡克定律分析一嚿物體用條彈弓吊住喺度唔郁：嚿物體維持唔郁就表示速度

\mathbf {v}

唔變，速度唔變就表示

\mathbf {a} =0

同埋

F_{\mathrm {net} }=0

。

F_{\mathrm {net} }=mg-kx

當中「

mg

」係嚿物體嘅重量，簡化講即係會令嚿物體向下加速嘅力；因為

F_{\mathrm {net} }=0

，條式掉吓就變成：

mg=kx

意思即係「條彈弓施落件物體度嘅向上力」（

kx

）啱啱好抵消咗嚿物體嘅重量。

想像而家有一件俾人擺喺一個平面上嘅波，個波嘅質量係 $m$ ，俾人駁住咗喺一條彈弓嘅一端嗰度。喺成個系統唔郁－即係處於平衡位置－嗰陣，條彈弓喺正佢嘅自然長度，所以根據胡克定律，條彈弓施喺個波身上嘅力會係^[6]

F=-k(0)=0

然後有股外來嘅力拉個波，將個波移離平衡位置，去到離平衡位置 $x_{o}$ 咁遠嘅位置（ $x_{\text{max}}$ ）嗰度。喺呢個時候，條彈弓會俾股力拉長咗 $x_{o}$ 咁多嘅長度，於是乎根據胡克定律，條彈弓會施一股力嚟去回復到去自己原本個長度，呢股力會係向住平衡位置嗰個方向嘅，因為條彈弓駁咗喺個波身上，呢股力會傾向將個波拉返去個平衡位置嗰度。即係話，假設摩擦力（包埋空氣阻力）可以忽略嘅話，喺股外來拉力啱啱放手嘅嗰一刻：

F_{\mathrm {net} }=-k_{s}x_{o}

，

[1]

忽略咗空氣阻力同埋摩擦力，而嗰股外來力啱啱放咗手。 $F_{\mathrm {net} }$ 係施喺個波身上嘅淨力（net force；指作用喺個波身上嘅力嘅總和），而 $k_{s}$ 反映咗條彈弓嘅剛度。因為喺呢點 $x_{o}\neq 0$ ，所以 $F_{\mathrm {net} }\neq 0$ 。噉嘅話根據牛頓第二定律，個波嘅加速度 $a_{o}$ 都係 $a_{o}\neq 0$ －於是個波開始向住個平衡位置嘅方向加速，即係話：

F_{\mathrm {net} }=ma_{o}

（根據牛頓第二定律），

[2]

F_{\mathrm {net} }\neq 0

（根據

[1]

），所以

a_{o}\neq 0

考慮加速度嘅定義－

\mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v}  \over \mathrm {d} t}\,\!

，

[3]

a_{o}\neq 0

（根據

[2]

），所以

{\mathrm {d} \mathbf {v}  \over \mathrm {d} t}\,\!\neq 0

，

當中 ${\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,\!$ 係「速度（ $\mathbf {v}$ ）隨時間（ $t$ ）嘅導數」－即係速度隨時間改變嘅率。

順帶一提，因為條彈弓施喺個波身上嗰股力傾向令後者返去平衡位置嗰度（回復平衡），所以又嗌做回復力（restoring force）。

來回郁

跟住落嚟會發生以下嘅事：

當個波愈嚟愈近個平衡位置但仲未去到嗰度（ $0<x_{o}<x_{\text{max}}$ ）嘅嗰段期間， $x_{o}$ 嘅數值會愈嚟愈接近 0 但係仲未係 0，所以 $F_{\mathrm {net} }$ 同 $a_{o}$ 都會開始接近 0－當個波愈近平衡位置，仲會繼續加速，但佢速度數值上升嘅率會愈嚟愈低。即係話^[7]：
$F_{\mathrm {net} }\neq 0$ ，數值跌緊；

$a_{o}\neq 0$ ，數值跟住 $F_{\mathrm {net} }$ 跌緊；

$v_{o}\neq 0$ ，數值升緊， $v_{o}$ 係個波嘅速度。
當個波終於返到去個平衡位置嗰陣， $x_{o}=0$ ，所以個波喺嗰點會唔再加速。雖然喺呢度個波唔再加速，但因為個波喺到平衡位置打前經已加咗一陣速，所以個波會有個非 0 嘅速度，於是佢就會向住另外一個方向郁。即係話：
$F_{\mathrm {net} }=0$ ；根據 $[1]$ 。

$a_{o}=0$ ；根據 $[2]$ 。

$v_{o}\neq 0$ ，但 ${\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,\!=0$ 。
因為個波向另一個方向郁（ $x_{\text{min}}<x_{o}<0$ ），個波會撳短條彈弓。條彈弓俾佢撳短咗，再根據 $[1]$ ，條彈弓又會施返股力將個波推返向個平衡位置。因為呢股力（同埋股力產生嘅加速度）同個波嘅速度喺方向上相反，個波會開始減速。即係話：
$F_{\mathrm {net} }\neq 0$ ，方向同速度嘅相反，數值升緊；

$a_{o}\neq 0$ ，方向同股回復力嘅一樣，數值跟住 $F_{\mathrm {net} }$ 嘅升緊；

$v_{o}\neq 0$ ，因為有個同佢方向相反嘅加速度，數值跌緊。
個波減速到咁上下，個波個速度會變咗做 0。喺個波嘅速度變 0 嗰一點（ $x_{o}=x_{\text{min}}$ ），個波會離平衡位置有咗一定嘅位移（即係 $x_{o}\neq 0$ ），所以根據 $[1]$ 同 $[2]$ ，個波又會開始向個平衡位置嗰個方向加速。即係話，喺個波停低嗰一刻：
$F_{\mathrm {net} }\neq 0$ ，數值去到頂點；

$a_{o}\neq 0$ ，方向同股回復力一樣，數值跟住 $F_{\mathrm {net} }$ 嘅去到頂點；

$v_{o}=0$ 。

上述嘅過程重重複複噉就會令到件物體喺兩個極點之間郁嚟郁去，而且如果冇能量散失嘅話（睇埋熱力學第二定律），呢個過程永遠都唔會停^[1]^[7]。

運動分析

波浪形線

根據相關嘅物理定律，喺一場簡諧運動當中是但一個時間點，以下呢幾條式都會成立^[8]：

$F_{\mathrm {net} }=-k_{s}x$ ； $[4]$
－根據胡克定律，而且假設空氣阻力同摩擦力細到可以忽略；
$F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$ ； $[5]$
－根據牛頓第二定律； ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$ 指「位移嘅導數嘅導數」，即係加速度。
$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k_{s}x$ ； $[6]$
－將 $[4]$ 同 $[5]$ 兩條式拼埋一齊嘅結果。

$[6]$ 呢條算式用微積分方法解咗佢嘅話就會搵到（睇正弦同餘弦）^[8]：

x(t)=x_{0}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \left(\omega t\right)

；

[7]

呢條式又有得寫做

x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)

；

[8]

當中 $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ ； $\tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$ ； $A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}$ 。

按照呢啲式，將 $x$ （打戙軸）同 $t$ （打橫軸）畫做圖嘅話會出條好似波浪形噉嘅線^[9]：

下圖噉嘅動畫顯示，如果將一場簡諧運動入面嘅 $x$ 投射落去一塊平面做一條線（打橫軸做時間）嘅話，係會出波浪形噉嘅線。

速度分析

$A$ 係成場簡諧運動嘅振幅（amplitude）－ $A$ 反映件物體偏離佢個平衡位置嘅最大位移。由畫出嚟嗰個圖嗰度睇到，件物體喺兩個極點之間郁嚟郁去， $x$ 嘅數值永遠唔會超過 $A$ ，而件物體嘅速度（由條線個斜率反映）嘅數值喺 $x=0$ 嗰個點去到最高，而喺 $x=A$ 嗰陣速度 $=0$ 。同樣用微積分嘅方法仲可以搵埋件物體嘅速度同加速度嘅算式出嚟^[10]：

v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}

（速度嘅定義）；

[9]

代咗 $[8]$ 落去 $[9]$ 嗰度就會得到

v(t)=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )

；

[10]

最大速度： $A\omega$ （喺平衡位置嗰度）

a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}

（加速度嘅定義）；

[11]

代咗 $[8]$ 落去 $[11]$ 嗰度就會得到

a(t)=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )

；

[12]

，條式仲有得寫做

a(x)=-\omega ^{2}x.

，當中

\omega ^{2}={\frac {k}{m}}

。

[13]

最大加速度： $A\omega ^{2}$ （喺極點嗰度）

週期

只要呢個系統冇因為空氣阻力呢啲嘢而搞到能量流失走嘅話，呢件物體嘅簡諧運動會係噉持續到去永遠，所以簡諧運動係一種週期性（periodic）嘅郁動，而一場簡諧運動嘅

頻率（frequency；指每單位時間入面場郁動重複幾多次）同
週期（period；指重複一次所需嘅時間）

都有得靠上面嗰柞方程式搵出嚟^[8]^[11]：

因為 $\omega =2\pi f$ ，

f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}

，

[14]

當中 $f$ 係場簡諧運動嘅頻率。而且因為 $T=1/f$ （週期嘅定義），當中 $T$ 係場簡諧運動嘅週期：

T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}

。

[15]

上面呢兩條式表示咗，簡諧運動係等時（isochronous）嘅－個頻率同週期同場郁動嘅振幅冇啦掕。

能量分析

將 $k/m$ 代入去 $\omega _{2}$ 嗰個位度，成個系統喺是但一點時間點 $t$ 嘅動能 $K$ 會係^[12]^[13]：

K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)

（動能嘅定義）；

[16]

跟手代頭先 $[10]$ 嗰條式落去，變做

K(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )

。

[17]

K(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )

。

[18]

而是但一點時間點 $t$ 嘅位能 $U$ 就係：

U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)

（彈弓系統位能嘅定義）；

[19]

跟手代頭先 $[8]$ 嗰條式落去，變做

U(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )

。

[20]

假設冇能量流失，噉成個系統喺是但一點時間點 $t$ 嘅機械能（動能同位能嘅總和） $E$ 係：

E=K+U

（機械能嘅定義）；

[21]

代頭先 $[18]$ 同埋 $[20]$ 嗰兩條式落去，變做

E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )+{\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )

。

[22]

因為無論 $\theta$ 係幾多， $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ 都會成立，所以

E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}

。

[23]

單擺

擺（pendulum）係簡諧運動嘅一個實際應用例子。想像一個擺，個擺搵條繩吊咗喺天花板度，個擺而家揈去左邊，去到左邊嘅最高點之後會揈返去右邊，去到右邊嘅最高點之後會揈去左邊... 如此類推，即係好似下圖噉嘅郁動^[14]^[15]：

當中藍色箭咀表示速度，紅色箭咀表示加速度。想像家陣個擺同垂直線成嘅最大角度（ $\theta$ 嘅最大值）唔係咁大^{[註 1]}，個擺嘅郁動有得大致上噉當佢做一場打橫嘅簡階運動噉嚟睇，如果單擺條繩嘅長度係 ${\displaystyle \ell }$ ，重力加速度係 ${\displaystyle g}$ ，噉呢個簡諧運動嘅週期就係^[14]^[16]：

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}

。

[24]

呢條式講嘅係，週期 $T$ 淨係取決於三個數－ $2\pi$ （圓周率兩倍）、 $\ell$ （吊住個鐘擺條繩嘅長度）同 $g$ （標準重力），當中圓周率係常數， $g$ 喺地球上會近乎係常數咁滯，而 $\ell$ 要維持不變好容易－即係話一個噉嘅鐘擺嘅週期會係一個恆定不變嘅數值，於是人就可以靠數住個鐘擺擺咗幾多次嚟計時間，例：設計一個鐘，個鐘擺條繩嘅長度設好咗，令個鐘擺會每 1 秒擺一次，如果個鐘擺有用齒輪等嘅機件駁落去一支秒針嗰度，就會做得到用個鐘擺計時嘅效果^[14]^[17]。

一個古董擺鐘

一個左右揈嘅鐘擺可以用嚟帶動一個齒輪。

註釋

↑ 一般認為係要細過 5°。

睇埋

文獻

Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
Grant R. Fowles; George L. Cassiday (2005). Analytical Mechanics (7th ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.

引述

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley.
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↑ Triana, C. A., & Fajardo, F. (2011). The influence of spring length on the physical parameters of simple harmonic motion. European journal of physics, 33(1), 219.
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↑ Robert Hooke, De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies, London, 1678.
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↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 Triana, C. A., & Fajardo, F. (2013). Experimental study of simple harmonic motion of a spring-mass system as a function of spring diameter. Revista Brasileira de Ensino de Física, 35.
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↑ John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books.
↑ Allen, M., & Saxl, E. J. (1972). The period of damped simple harmonic motion. American Journal of Physics, 40(7), 942-944.
↑ Energy in Simple Harmonic Motion.
↑ Sriskandarajah, G. (2021). Simple Harmonic Motion. The Physics Teacher, 59(9), 675-675.
↑ ^14.0 ^14.1 ^14.2 Milham, Willis I. (1945). Time and Timekeepers. New York: MacMillan. p.330 - 334.
↑ Mechanism behind Clocks - Simple Harmonic Motion 互聯網檔案館嘅歸檔，歸檔日期2020年3月27號，..
↑ Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentals of Physics, 5th Ed. New York: John Wiley & Sons. p. 381.
↑ Bennet, Matthew; et al. (2002). "Huygens' Clocks"=. Georgia Institute of Technology, also published in Proceedings of the Royal Society of London, A 458, 563–579.

拎

（英文）簡諧運動 from HyperPhysics.
（英文） Java 模擬一條彈弓同一嚿質量嘅振盪

[16] 一般認為係要細過 5°。

[walker-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley.

[2] Galeriu, C., Edwards, S., & Esper, G. (2014). An Arduino investigation of simple harmonic motion. The Physics Teacher, 52(3), 157-159.

[3] Triana, C. A., & Fajardo, F. (2011). The influence of spring length on the physical parameters of simple harmonic motion. European journal of physics, 33(1), 219.

[4] Afandi, Z. (2018, April). Development of gravity acceleration measurement using simple harmonic motion pendulum method based on digital technology and photogate sensor. In IOP Conference Series: Materials Science and Engineering (Vol. 335, No. 1, p. 012064). IOP Publishing.

[5] Robert Hooke, De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies, London, 1678.

[halliday2013-6] 6.0 ^6.1 Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of physics. John Wiley & Sons.

[lee2013-7] 7.0 ^7.1 Lee, C. K., Tan, S. C., Wu, F. F., Hui, S. Y. R., & Chaudhuri, B. (2013, September). Use of Hooke's law for stabilizing future smart grid - The electric spring concept. In 2013 IEEE Energy Conversion Congress and Exposition (pp. 5253-5257). IEEE.

[triana2013-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Triana, C. A., & Fajardo, F. (2013). Experimental study of simple harmonic motion of a spring-mass system as a function of spring diameter. Revista Brasileira de Ensino de Física, 35.

[9] Lan, K. C., & Shih, W. Y. (2012, April). Using simple harmonic motion to estimate walking distance for waist-mounted PDR. In 2012 IEEE wireless communications and networking conference (WCNC) (pp. 2445-2450). IEEE.

[10] John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books.

[11] Allen, M., & Saxl, E. J. (1972). The period of damped simple harmonic motion. American Journal of Physics, 40(7), 942-944.

[12] Energy in Simple Harmonic Motion.

[13] Sriskandarajah, G. (2021). Simple Harmonic Motion. The Physics Teacher, 59(9), 675-675.

[milham1945-14] 14.0 ^14.1 ^14.2 Milham, Willis I. (1945). Time and Timekeepers. New York: MacMillan. p.330 - 334.

[15] Mechanism behind Clocks - Simple Harmonic Motion 互聯網檔案館嘅歸檔，歸檔日期2020年3月27號，..

[17] Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentals of Physics, 5th Ed. New York: John Wiley & Sons. p. 381.

[18] Bennet, Matthew; et al. (2002). "Huygens' Clocks"=. Georgia Institute of Technology, also published in Proceedings of the Royal Society of London, A 458, 563–579.

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[註 1]

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