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一舊駁住彈弓嘅嘢彈上彈落係一種打棟嘅簡諧運動。

簡諧運動粵拼gaan2 haai4 wan6 dung6英國話simple harmonic motion),喺物理學上係指一種週期性嘅郁動(振盪)。喺簡諧運動入面,有一股係噉作用喺一件物體上面,呢股力嘅數值大細同件物體嘅位移正比而且同個位移嘅方向相反(有關呢啲基礎概念嘅詳情,睇古典力學),令到件物體會不斷係噉喺兩個極點之間郁嚟郁去[1]

簡諧運動係一種好普遍嘅現象,喺彈弓同埋好多嘢嘅振盪嗰度都會撞到。除咗噉,佢仲有得用嚟大致上噉模擬到好多其他嘅自然現象,包括咗係嘅擺動同埋係分子嘅震動。簡諧運動概念嘅普遍性令到物理學上對佢嘅分析有好多唔同嘅用途。

概念

定義上,簡諧運動係指(一)一件物體沿住一條直線(打橫打棟定係打鈄都得),喺條直線嘅兩個極點之間郁嚟郁去;而且(二)喺成個過程入面,件物體都會受住一股力,呢股力嘅方向要係永遠向住兩個極點之間嘅某個不動點(Fixed point)嗰度,兼且喺數值上同件物體離嗰個不動點嘅位移成正比嘅。一舊駁住彈弓嘅嘢彈嚟彈去就係一個簡諧運動嘅例子。

個案:駁咗彈弓嘅物體

 
一個打橫嘅簡諧運動嘅想像圖

根據胡克定律(Hooke's law)[1][2],一條彈弓嘅長度離佢嘅自然長度愈遠(即係俾人拉長或者壓短得愈犀利),佢就會施股愈勁嘅力嚟回復原本嗰個長度。呢條定律用數學方程式嚟表達嘅話係:

 

喺呢條式入面,  係條彈弓施嘅力,以牛頓單位  係條彈弓嘅長度改變咗幾多,以做單位;  呢個常數就反映咗條彈弓嘅剛度,而佢嗰個負號係因為產生嗰股力係條彈弓施嚟回復到去佢本嚟個長度嘅,所以股力同個長度嘅改變實係方向相反嘅。

想像而家有一件俾人擺喺一個平面上嘅物體,佢嘅質量 ,俾人駁住咗喺一條彈弓嘅一端嗰度。喺成個系統唔郁-即係處於平衡位置(Equilibrium position)-嗰陣,條彈弓喺正佢嘅原本長度,所以根據胡克定律,佢施喺件物體身上嘅力會等如零。跟住落嚟,有一股外來嘅力拉件物體,將佢移離佢個平衡位置,去到離平衡位置   米遠嘅位置嗰度。喺呢個時候,駁住喺件物體身上嗰條彈弓會俾佢拉長咗   噉多嘅長度。於是乎根據胡克定律,條彈弓會施一股力嚟去回復到去佢原本個長度,呢股力會係向住平衡位置嗰個方向嘅,因為條彈弓駁咗喺件物體身上,呢股力會傾向將件物體拉返去個平衡位置嗰度。即係話,假設空氣阻力同埋摩擦力呢啲立雜嘢可以忽略咗佢嘅話,喺股外來拉力啱啱放手嘅嗰一刻:

 ,忽略咗空氣阻力同埋摩擦力,而嗰股外來力啱啱放咗手; ,所以   

  係施喺件物體身上嘅淨力(Net force;指作用喺件物體身上嘅力嘅總和),而   反映咗條彈弓嘅剛度。因為喺呢一點   唔等如零,  都唔會等如零。噉嘅話自自然然,根據牛頓第二定律,件物體嘅加速度(Acceleration)  都唔會等如零-於是件物體喺呢一點開始向住個平衡位置嘅方向加速,即係話:

 (根據牛頓第二定律); (根據  ),所以   
 -加速度嘅定義; (根據  ),所以  ,當中  速度 )隨時間 )嘅導數-即係速度隨住時間改變嘅率。 

條彈弓施喺件物體身上嗰股力傾向令到後者返去佢個平衡位置嗰度(回復平衡),所以嗌做「回復力」(Restoring force)。跟住落嚟會發生以下嘅事:

  • 當件物體愈嚟愈近個平衡位置但係仲未去到嗰度嘅嗰段期間,  嘅數值會愈嚟愈接近零但係仲未係零,所以    都會開始接近零-即係話當件物體愈近個平衡位置,佢仲會繼續加速,但係佢速度數值上升嘅率會愈嚟愈低。即係話:
 ,數值跌緊;
 ,數值跟住   嘅跌緊;
 ,數值升緊,  係件物體嘅速度。
  • 當件物體終於返到去佢個平衡位置嗰陣,  嘅數值會變成零,所以佢喺嗰一點會唔再加速。雖然喺呢度佢唔再加速,但係因為件物體喺到咗平衡位置之前經已加咗一陣速,所以佢會有一個非零嘅速度,於是佢就會向住另外一個方向郁。即係話:
 
 
 ,數值唔再變。
  • 因為件物體向另一個方向郁,佢會壓縮條彈弓。條彈弓俾佢壓縮短咗,再根據胡克定律,佢又會施返股力將件物體推返向個平衡位置嗰度。因為呢股力(同埋佢產生嘅加速度)同件物體嘅速度方向相反,件物體會開始減速。即係話:
 ,方向同速度嘅相反,數值升緊;
 ,方向同股回復力嘅一樣,數值跟住   嘅升緊;
 ,因為有個同佢方向相反嘅加速度,數值跌緊。
  • 件物體減速到噉上下,佢個速度會變咗做零。喺佢嘅速度變零嗰一點,件物體會離平衡位置有咗一定嘅位移(即係   唔等如零),所以根據胡克定律同埋牛頓第二定律,佢又會開始向個平衡位置嗰個方向加速。即係話,喺佢停嘅嗰一刻:
 ,數值去到頂點;
 ,方向同股回復力一樣,數值跟住   嘅去到頂點;
 
  • 上述嘅過程重重複複噉就會令到件物體喺兩個極點之間郁嚟郁去,而且如果冇能量散失嘅話永遠都唔會停[1]

運動學分析

 
將簡諧運動當中位移同時間之間嘅關係畫做圖表出到嘅樣;條波浪形噉嘅線表示喺簡諧運動入面一件物體係噉喺兩個極點之間郁嚟郁去。
睇埋:運動學

喺上述過程當中嘅任何一個時間點:

 -根據胡克定律同埋「空氣阻力同埋摩擦力可以忽略」嘅假設; 
 -根據牛頓第二定律;  指「位移嘅導數嘅導數」-加速度。 
 ,就係將    兩條式拼埋一齊嘅結果。 

呢條算式用微積分方法解咗佢嘅話就會揾到:

 -(睇正弦餘弦)。 ;呢條式又有得寫做
 ,當中     

呢條算式表達咗喺一個簡諧運動入面「件物體離平衡位置嘅位移」- -同埋時間- -之間嘅關係,而   就係成個簡諧運動嘅振幅(Amplitude)-件物體偏離個平衡位置嘅最大距離。由畫出嚟嗰個圖嗰度睇到,件物體喺兩個極點之間郁嚟郁去(  嘅數值永遠唔會超過某個位),而佢嘅速度(即係條線個斜率)嘅數值喺   嗰個點去到最高,而速度喺   嗰陣等如零。同樣用微積分嘅方法仲可以揾埋件物體嘅速度同埋佢加速度嘅算式出嚟:

 (速度嘅定義) 
 ;代咗   落去   嗰度。 

最大速度:ωA(喺平衡位置嗰度)

 (加速度嘅定義) 
 ;代咗   落去   嗰度。 ;佢仲有得寫做
 ,當中   

最大加速度:2(喺極點嗰度)

只要呢個系統冇因為空氣阻力呢啲嘢而搞到佢流失能量嘅話,呢件物體嘅簡諧運動會係噉持續到去永遠,所以簡諧運動係一種週期性(Periodic)嘅運動,而一個簡諧運動嘅頻率(Frequency;指每單位時間入面重複幾多次)同埋週期(Period;指重複一次所需嘅時間)都有得靠上面嗰柞方程式揾到出嚟:

因為 ω = 2πf

 ,當中   係個簡諧運動嘅頻率。 

而且因為 T = 1/f(週期嘅定義),當中   係個簡諧運動嘅週期:

  

上面呢兩條式表示咗簡諧運動係等時(Isochronous)嘅-佢個頻率同週期同個郁動嘅振幅冇啦掕。

能量嘅分析

k/m 代入去 ω2 嗰個位度,成個系統喺是但一個時間點 t動能(Kinetic energy)K 係:

 (動能嘅定義) ;跟手代頭先   嗰條式落去,變做
  
  

而喺是但一個時間點 t位能(Potential energy)U 就係:

 (彈弓系統位能嘅定義) ;跟手代頭先   嗰條式落去,變做
  

如果冇能量流失,成個系統喺是但一個時間點 t機械能(Mechanical energy;指動能同位能嘅總和)E 係:

 (機械能嘅定義) ;代頭先   同埋   嗰兩條式落去,變做
  ;因為  ,無論   係幾多,所以
  

第啲例子

單擺

 
一個單擺;如果佢個幅度唔係太大,件物體(圓形表示嗰舊)大致上係做簡諧運動嘅。
內文:

一個(Pendulum)嘅郁動都有得用簡諧運動嚟分析。當一個單擺同垂直線嘅偏角唔係噉大(一般認為係要細過 5°),佢嘅郁動有得近似噉當佢做一個打橫嘅簡階運動噉嚟睇,如果單擺條繩嘅長度係  重力加速度 ,噉呢個簡諧運動嘅週期就係:

  •   

呢條式要喺個偏角好細嗰陣時先至會成立,因為角加速度(Angular acceleration)嗰條式係同個位置嘅正弦成正比嘅:

  •   

其中  慣性矩,喺呢種情況之下  。當   好細嗰陣, ,所以上面嗰條式有得變做:

  •   

呢條式令到個角加速度同   成正比,滿足咗簡諧運動嘅定義[3]

睇埋

  1. 1.0 1.1 1.2 Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley.
  2. Robert Hooke, De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies, London, 1678.
  3. 趙志敏. 高中物理競賽教程。基礎篇. 復旦大學出版社. 2011年10月.

參考

  • Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6. 
  • John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN 1-891389-22-X. 
  • Grant R. Fowles; George L. Cassiday (2005). Analytical Mechanics (7th ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.