喺有限差分裏面，函數唔係連續嘅，而係喺每一個格點上面對應一個數值。所以，我哋要用第二種方式嚟表示離散化咗嘅函數。
首先，我哋要用一啲符號或者字母代表三維空間 同埋一維時間 四個維度 。習慣上，
n
{\displaystyle n}
i
{\displaystyle i}
x
{\displaystyle x}
j
{\displaystyle j}
y
{\displaystyle y}
k
{\displaystyle k}
z
{\displaystyle z}
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle (x,y,z,t)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
定義域 喺三維空間同埋一維時間嘅函數
u
{\displaystyle u}
u
i
,
j
,
k
n
=
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle u_{i,j,k}^{n}=u(x,y,z,t)}
留意時間指數永遠寫喺右上角，而空間指數永遠寫喺右下角。而且，呢度假設四個維度嘅格點分別按照
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
y
{\displaystyle \Delta y}
Δ
z
{\displaystyle \Delta z}
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
如果個函數嘅域唔覆蓋哂全部四個維度，噉對應嘅指數可以省略唔寫。例如如果一個函數只對應一維空間同埋一維時間（即係
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
u
i
n
{\displaystyle u_{i}^{n}}
u
(
x
)
=
u
i
{\displaystyle u(x)=u_{i}}
u
(
t
)
=
u
n
{\displaystyle u(t)=u^{n}}
數列 同埋次方 炒埋一碟！
一堆有限差分法裏面一階同二階導數唔同嘅表示式，除咗準確到唔同階之外，仲有分向前差分、向後差分同埋中央差分三種格式。 利用導數 嘅基本原理，我哋可以得到有限差分法裏面最簡單嘅公式。因為一階導數嘅定義係：
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
對於一階導數其中一條有限差分公式就係：
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
我哋再將
f
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle f(x+\Delta x)}
f
(
x
+
Δ
x
)
≈
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x}
或者，用格點表示法就係：
d
f
d
x
≈
f
i
+
1
−
f
i
Δ
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}\approx {\frac {f_{i+1}-f_{i}}{\Delta x}}}
所以，當我哋知道喺某一個格點
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
f
{\displaystyle f}
歐拉法 就係用緊呢個概念。
同樣地，如果將
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
−
Δ
x
{\displaystyle -\Delta x}
Δ
x
→
0
{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}
−
Δ
x
→
0
{\displaystyle -\Delta x\rightarrow 0}
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}
由呢度可以推出另一條一階導數嘅差分公式，就係：
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}
我哋再將
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
≈
f
(
x
−
Δ
x
)
+
f
′
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f(x)\approx f(x-\Delta x)+f'(x)\Delta x}
或者，用格點表示法就係：
d
f
d
x
≈
f
i
−
f
i
−
1
Δ
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}\approx {\frac {f_{i}-f_{i-1}}{\Delta x}}}
呢個概念同歐拉法都幾似，不過係用緊相反方向嘅導數，所以叫做反向歐拉法 。
呢兩種有限差分方法都係準確至一階。
我哋仲可以用到上面嘅兩條差分公式推到另一條差分公式出嚟。通過整合上面得到嘅兩條公式：
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
⋯
(
1
)
{\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdots (1)}
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
⋯
(
2
)
{\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}\cdots (2)}
我哋可以推出：
(
1
)
+
(
2
)
:
{\displaystyle (1)+(2):}
2
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
+
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle 2f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}
2
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
+
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle 2f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}
2
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle 2f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}
f
′
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
2
Δ
x
{\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}}}
或者，用格點表示法就係：
d
f
d
x
≈
f
i
+
1
−
f
i
−
1
2
Δ
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}\approx {\frac {f_{i+1}-f_{i-1}}{2\Delta x}}}
呢條新嘅公式喺中央差分法 裏面好有用，而且比起先前兩條公式誤差更加細，因為佢係準確到二階。
差分法嘅公式仲可以由泰勒級數 推出嚟。首先將佢應用到
f
(
x
+
Δ
x
)
{\displaystyle f(x+\Delta x)}
f
(
x
+
Δ
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
)
n
!
Δ
x
n
=
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
Δ
x
+
f
″
(
x
)
2
!
Δ
x
2
+
f
‴
(
x
)
3
!
Δ
x
3
+
f
⁗
(
x
)
4
!
Δ
x
4
+
⋯
⋯
(
3
)
{\displaystyle f(x+\Delta x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}\Delta x^{n}=f(x)+f'(x)\Delta x+{\frac {f''(x)}{2!}}\Delta x^{2}+{\frac {f'''(x)}{3!}}\Delta x^{3}+{\frac {f''''(x)}{4!}}\Delta x^{4}+\cdots \,\,\,\,\,\cdots (3)}
再將佢應用到
f
(
x
−
Δ
x
)
{\displaystyle f(x-\Delta x)}
f
(
x
−
Δ
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
f
(
n
)
(
x
)
n
!
Δ
x
n
=
f
(
x
)
−
f
′
(
x
)
Δ
x
+
f
″
(
x
)
2
!
Δ
x
2
−
f
‴
(
x
)
3
!
Δ
x
3
+
f
⁗
(
x
)
4
!
Δ
x
4
−
⋯
⋯
(
4
)
{\displaystyle f(x-\Delta x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}f^{(n)}(x)}{n!}}\Delta x^{n}=f(x)-f'(x)\Delta x+{\frac {f''(x)}{2!}}\Delta x^{2}-{\frac {f'''(x)}{3!}}\Delta x^{3}+{\frac {f''''(x)}{4!}}\Delta x^{4}-\cdots \,\,\,\,\,\cdots (4)}
將
(
3
)
{\displaystyle (3)}
f
(
x
+
Δ
x
)
=
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
Δ
x
+
O
(
Δ
x
2
)
{\displaystyle f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\Delta x+O(\Delta x^{2})}
其中用大O符號 嚟代表誤差。我哋抹走
O
(
Δ
x
2
)
{\displaystyle O(\Delta x^{2})}
O
(
Δ
x
2
)
{\displaystyle O(\Delta x^{2})}
用同樣嘅方法，我哋重寫
(
4
)
{\displaystyle (4)}
f
(
x
−
Δ
x
)
=
f
(
x
)
−
f
′
(
x
)
Δ
x
+
O
(
Δ
x
2
)
{\displaystyle f(x-\Delta x)=f(x)-f'(x)\Delta x+O(\Delta x^{2})}
用返上面嘅睇法，我哋可以睇到呢條式都係喺一階嘅領域裏面絕對準確。
如果要準確到二階，我哋用
(
3
)
−
(
4
)
{\displaystyle (3)-(4)}
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
=
2
f
′
(
x
)
Δ
x
+
2
f
‴
(
x
)
3
!
Δ
x
3
+
⋯
=
2
f
′
(
x
)
Δ
x
+
O
(
Δ
x
3
)
{\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)=2f'(x)\Delta x+{\frac {2f'''(x)}{3!}}\Delta x^{3}+\cdots =2f'(x)\Delta x+O(\Delta x^{3})}
我哋抹走
O
(
Δ
x
3
)
{\displaystyle O(\Delta x^{3})}
O
(
Δ
x
3
)
{\displaystyle O(\Delta x^{3})}
至於二階導數 ，我哋可以考慮佢係一階導數嘅導數嚟推出差分公式。首先，我哋用中央差分版嘅導數基本原理嚟表示二階導數：
f
″
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
′
(
x
+
Δ
x
)
−
f
′
(
x
−
Δ
x
)
2
Δ
x
{\displaystyle f''(x)=\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f'(x+\Delta x)-f'(x-\Delta x)}{2\Delta x}}}
拆走個極限，再將個格點間隔由
2
Δ
x
{\displaystyle 2\Delta x}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
x
→
0
{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}
Δ
x
2
→
0
{\displaystyle {\frac {\Delta x}{2}}\rightarrow 0}
f
″
(
x
)
≈
f
′
(
x
+
Δ
x
2
)
−
f
′
(
x
−
Δ
x
2
)
Δ
x
{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {f'(x+{\frac {\Delta x}{2}})-f'(x-{\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}}
我哋再對
f
′
(
x
+
Δ
x
2
)
{\displaystyle f'(x+{\frac {\Delta x}{2}})}
f
′
(
x
−
Δ
x
2
)
{\displaystyle f'(x-{\frac {\Delta x}{2}})}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
f
′
(
x
+
Δ
x
2
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x+{\frac {\Delta x}{2}})\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
f
′
(
x
−
Δ
x
2
)
≈
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x-{\frac {\Delta x}{2}})\approx {\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}
將佢哋代返入去，就有：
f
″
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
−
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
Δ
x
{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}-{\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}}{\Delta x}}}
f
″
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
−
[
f
(
x
)
−
f
(
x
−
Δ
x
)
]
Δ
x
Δ
x
{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)-[f(x)-f(x-\Delta x)]}{\Delta x}}{\Delta x}}}
f
″
(
x
)
≈
f
(
x
+
Δ
x
)
−
2
f
(
x
)
+
f
(
x
−
Δ
x
)
Δ
x
2
{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{\Delta x^{2}}}}
或者，用格點表示法就係：
d
2
f
d
x
2
≈
f
i
+
1
−
2
f
i
+
f
i
−
1
Δ
x
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\approx {\frac {f_{i+1}-2f_{i}+f_{i-1}}{\Delta x^{2}}}}
呢條就係二階導數嘅差分公式，準確到二階。
用泰勒級數都可以得到呢個結果。我哋考慮
(
3
)
+
(
4
)
{\displaystyle (3)+(4)}
f
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
−
Δ
x
)
=
2
f
(
x
)
+
2
[
f
″
(
x
)
2
!
Δ
x
2
]
+
2
[
f
⁗
(
x
)
4
!
Δ
x
4
]
+
⋯
{\displaystyle f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)=2f(x)+2\left[{\frac {f''(x)}{2!}}\Delta x^{2}\right]+2\left[{\frac {f''''(x)}{4!}}\Delta x^{4}\right]+\cdots }
f
(
x
+
Δ
x
)
+
f
(
x
−
Δ
x
)
=
2
f
(
x
)
+
2
[
f
″
(
x
)
2
!
Δ
x
2
]
+
O
(
Δ
x
4
)
{\displaystyle f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)=2f(x)+2\left[{\frac {f''(x)}{2!}}\Delta x^{2}\right]+O(\Delta x^{4})}
當
O
(
Δ
x
4
)
→
0
{\displaystyle O(\Delta x^{4})\rightarrow 0}
呢部分最頂嗰幅圖有一堆唔同導數嘅有限差分法公式，佢哋嘅證明方式同上面大致一樣。
唔同嘅有限差分法格式可以用嚟搵唔同類型嘅微分方程嘅數值解 ，佢哋大致上嘅做法都係將條方程裏面唔同階嘅導數全部塞哂啲有限差分法嘅樣落去，然後再用加減乘除逐格逐格同埋逐個時間點搵哂所有格點嘅數值出嚟。例如解一條微分方程
y
d
2
y
d
x
2
+
d
y
d
x
−
1
y
=
1
{\displaystyle y{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{dx}}-{\frac {1}{y}}=1}
y
i
(
y
i
+
1
−
2
y
i
+
y
i
−
1
Δ
x
2
)
+
y
i
+
1
−
y
i
−
1
2
Δ
x
−
1
y
i
=
1
{\displaystyle y_{i}\left({\frac {y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}\right)+{\frac {y_{i+1}-y_{i-1}}{2\Delta x}}-{\frac {1}{y_{i}}}=1}
為咗搵前面嗰格嘅數值，我哋要將
y
i
+
1
{\displaystyle y_{i+1}}
y
i
+
1
−
2
y
i
+
y
i
−
1
Δ
x
2
=
1
y
i
(
1
+
1
y
i
−
y
i
+
1
−
y
i
−
1
2
Δ
x
)
{\displaystyle {\frac {y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}={\frac {1}{y_{i}}}\left(1+{\frac {1}{y_{i}}}-{\frac {y_{i+1}-y_{i-1}}{2\Delta x}}\right)}
y
i
+
1
−
2
y
i
+
y
i
−
1
Δ
x
2
=
1
y
i
+
1
y
i
2
−
y
i
+
1
−
y
i
−
1
2
y
i
Δ
x
{\displaystyle {\frac {y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}={\frac {1}{y_{i}}}+{\frac {1}{y_{i}^{2}}}-{\frac {y_{i+1}-y_{i-1}}{2y_{i}\Delta x}}}
y
i
+
1
(
1
Δ
x
2
+
1
2
y
i
Δ
x
)
=
2
y
i
−
y
i
−
1
Δ
x
2
+
1
y
i
+
1
y
i
2
+
y
i
−
1
2
y
i
Δ
x
{\displaystyle y_{i+1}\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{2y_{i}\Delta x}}\right)={\frac {2y_{i}-y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{y_{i}}}+{\frac {1}{y_{i}^{2}}}+{\frac {y_{i-1}}{2y_{i}\Delta x}}}
y
i
+
1
Δ
x
(
1
Δ
x
+
1
2
y
i
)
=
2
y
i
−
y
i
−
1
Δ
x
2
+
1
y
i
+
1
y
i
2
+
y
i
−
1
2
y
i
Δ
x
{\displaystyle {\frac {y_{i+1}}{\Delta x}}\left({\frac {1}{\Delta x}}+{\frac {1}{2y_{i}}}\right)={\frac {2y_{i}-y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{y_{i}}}+{\frac {1}{y_{i}^{2}}}+{\frac {y_{i-1}}{2y_{i}\Delta x}}}
y
i
+
1
=
2
y
i
Δ
x
2
2
y
i
+
Δ
x
(
2
y
i
−
y
i
−
1
Δ
x
2
+
1
y
i
+
1
y
i
2
+
y
i
−
1
2
y
i
Δ
x
)
{\displaystyle y_{i+1}={\frac {2y_{i}\Delta x^{2}}{2y_{i}+\Delta x}}\left({\frac {2y_{i}-y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{y_{i}}}+{\frac {1}{y_{i}^{2}}}+{\frac {y_{i-1}}{2y_{i}\Delta x}}\right)}
y
i
+
1
=
2
y
i
Δ
x
2
2
y
i
+
Δ
x
[
2
y
i
−
y
i
−
1
Δ
x
2
+
1
y
i
(
1
+
1
y
i
+
y
i
−
1
2
Δ
x
)
]
{\displaystyle y_{i+1}={\frac {2y_{i}\Delta x^{2}}{2y_{i}+\Delta x}}\left[{\frac {2y_{i}-y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{y_{i}}}\left(1+{\frac {1}{y_{i}}}+{\frac {y_{i-1}}{2\Delta x}}\right)\right]}
將呢條式用喺定義域裏面嘅每個格點，然後逐格逐格推，就可以搵到喺成個定義域裏面呢條微分方程嘅解。
喺大部分嘅時候，有限差分法通常係用嚟解偏微分方程 ，例如移流方程 、熱方程 、波動方程 、拉普拉斯方程 ，甚至納維-斯托克斯方程 之類，因為佢哋喺好多科學現象，尤其係物理現象裏面會出現。至於要用唔同嘅格式，係因為唔同種類嘅偏微分方程喺唔同嘅格式之下會有唔同嘅數值穩定性 。
就用一維空間嘅移流方程做例子，其中一個可以用嘅格式係 CTCS 格式。條方程原本嘅樣係：
∂
u
∂
t
+
c
∂
u
∂
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}
用 CTCS 格式個樣就會變成：
u
i
n
+
1
−
u
i
n
−
1
2
Δ
t
+
c
u
i
+
1
n
−
u
i
−
1
n
2
Δ
x
=
0
{\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n-1}}{2\Delta t}}+c{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0}
再將
u
i
n
+
1
{\displaystyle u_{i}^{n+1}}
u
i
n
+
1
=
u
i
n
−
1
−
c
Δ
t
Δ
x
(
u
i
+
1
n
−
u
i
−
1
n
)
{\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n-1}-{\frac {c\Delta t}{\Delta x}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})}
呢條式就可以直接入落電腦程式度解咗佢。
![{\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)-[f(x)-f(x-\Delta x)]}{\Delta x}}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaac1910d3fb9e361f20b07026630ee43dcad40d)
![{\displaystyle f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)=2f(x)+2\left[{\frac {f''(x)}{2!}}\Delta x^{2}\right]+2\left[{\frac {f''''(x)}{4!}}\Delta x^{4}\right]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ae09c826eab50a1ea14a4d4f6231cf0e17eb66)
![{\displaystyle f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)=2f(x)+2\left[{\frac {f''(x)}{2!}}\Delta x^{2}\right]+O(\Delta x^{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3ae9130c741d63f9e6fab3657fa6a8444ff896)
![{\displaystyle y_{i+1}={\frac {2y_{i}\Delta x^{2}}{2y_{i}+\Delta x}}\left[{\frac {2y_{i}-y_{i-1}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{y_{i}}}\left(1+{\frac {1}{y_{i}}}+{\frac {y_{i-1}}{2\Delta x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6a4467337d41df88373b4d0bebdcddca6d7dc8)
