蝴蝶效應

蝴蝶效應（粵拼：wu4 dip6*2 haau6 jing3；英文：butterfly effect）係指一種混沌嘅相關現象，講緊喺一個動態系統之中，最初條件有咗些少變化，都會令到成個系統出現巨大嘅連鎖反應，搞到最後出嘅結果完全唔同晒。啲人講親蝴蝶效應，好多時都會用噉嘅方法嚟諗呢種現象：想像有一隻蝴蝶喺度拍翼（細小變化），就搞到地球另一邊出現龍捲風（巨大嘅連鎖反應）。

一隻細細嘅蝴蝶拍吓對翼（上），就會搞到第二度打大風（下）咁誇張？廿一世紀初嘅科學研究表示，呢種情況的確係有可能發生嘅。

喺實際應用上，蝴蝶效應表示咗一樣嘢：人類雖然係能夠對相對近嘅未來作出有返咁上下準嘅預測，但係一旦要預測遙遠啲嘅未來，預測嘅結果同最後實際見到嘅結果往往會完全唔同；而呢一點對於自然科學以至經濟學等嘅社會科學嚟講，都係一條幾引人注意嘅問題。

基本諗頭編輯

用日常化啲嘅語言講，蝴蝶效應講緊以下嘅現象：

呢個世界係高度互聯嘅，喺一個有返咁上下大嘅複雜系統入便，一個細微嘅變化都有可能搞到個系統出嘅結果完全唔同晒。

即係話呢啲系統，最後出嘅解答對初始條件非常敏感^{[e 1]}。

啲人講解蝴蝶效應，成日都會用以下嘅譬喻：想像有隻蝴蝶喺一度地方飛嚟飛去搵花蜜食，佢係噉拍翼會造成空氣嘅微細流動（初始條件嘅細變化），再想像呢股微細變動引起周圍嘅空氣出現一連串嘅變化，最後喺地球（有咁上下大嘅複雜系統）嘅第二度引起龍捲風（結果大變）—個系統嘅初始狀態係噉咦變咗少少，跟住落嚟嘅變化規律就唔同晒，彷彿好似個系統係完全「混沌、無章可循」噉嘅樣^[1]。上述嘅譬喻亦係「蝴蝶效應」呢個名嘅由來。

蝴蝶效應起初係由研究氣象學嘅科學家討論嘅，但係及後就引起咗多個科學領域嘅研究者注意，就連社會科學嘅工作者都對呢個概念有興趣，例如用經濟學嘅方式嚟諗：想像依家有兩個經濟體 A 同 B（有咁上下大嘅複雜系統），一開始嗰陣 A 同 B 狀態完全一樣咁滯，不過响嗰時 A 嘅人口大過 B 少少，例如 A 人口係 100,005 而 B 人口係 100,000（初始條件有細變化）；直覺上認為，A 同 B 跟住落嚟嘅變化應該會係一樣咁滯，但實際研究發現並唔係噉－實證研究表明，兩個經濟體有可能會隨時間變到完全唔一樣，例如 A 變成世界最大經濟體，同時 B 進入經濟衰退，最後 A 嘅 GDP 去到 B 嘅 10 倍（結果大變）^[2]。

數學模型編輯

2007 年喺美國威斯康辛州影到嘅一大嚿捲軸雲；雲同空氣嘅流動主宰咗天氣點樣變化。

「天氣預報最撈絞嘅就係，佢估啱嘅次數太多，我哋唔可以忽略佢，同時佢估錯嘅次數又太多，我哋唔可以依賴佢。」^[3]

實際學術上研究蝴蝶效應，係會用數學模型嚟描述呢種現象嘅^{[註 1]}。

廿世紀嘅研究經已清楚表明，有好多數學模型都會出現蝴蝶效應噉嘅情況，當中最出名嘅就要數洛倫茲系統^{[e 2]}：事源喺 1960 年代初，當時美國氣象學家愛德華·諾頓·洛倫茲^{[e 3]}喺度做研究，嘗試用數學模型嚟模擬天氣點樣變化，佢當時用咗個相對簡單嘅數學模型（講緊以專業科研嘅基準睇算係簡單），成個模型得嗰三條微分方程^{[e 4]}咁少^[4]^[5]：

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x)\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z\end{aligned}}

當中 $x,y,z$ 係個模型模擬緊嗰三個變數，簡化講呢幾個變數係反映緊空氣嘅流動。 $t$ 係指時間，而 $\sigma ,\rho ,\beta$ 就係模型嘅參數，呢啲參數嘅值由研究者事先指定。呢個系統屬於動態系統^{[e 5]}，能夠隨時間而變化，呢點由每條式左手邊嗰嚿（掕住 $dt$ 嗰嚿）反映，每條式左手邊嗰嚿係指嗰一個變數「隨時間變化嘅率」—用日常化嘅語言嚟講，上便第一條式入便嗰嚿

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}

可以理解做「 $x$ 隨時間變化嘅率」噉嘅意思，而喺洛倫茲系統入邊，呢嚿嘢嘅數值等如 $\sigma$ 乘以 $y-x$ ^{[註 2]}。

原則上，研究者攞住呢個模型，靠住佢對氣象學嘅認識設定晒啲參數嘅數值，又設好晒變數喺初頭（ $t=0$ ）嗰時嘅數值（初始條件），就可以郁手行電腦模擬，叫電腦計吓呢三個變數會點樣隨住時間過去（ $t$ 數值慢慢升）而變化，並且將三個變數喺每一個時間點嘅數值一行行噉印出嚟^[6]。印出嚟嘅結果會係類似噉嘅格式：

 當 t = 0, x = ..., y = ..., z = ...
 當 t = 1, x = ..., y = ..., z = ...
 當 t = 2, x = ..., y = ..., z = ...
 ...

洛倫茲佢行咗個模型幾次，次次都入咗唔同嘅變數初始數值。佢發現咗一樣奇怪嘅嘢：佢發覺設下嘅初始數值變咗少少，例如 $x,y,z$ 其中一個數值大咗細咗 0.2% 咁多—例如由 .506127 變成 0.506 噉，跟住印出嚟嗰一拃結果就完全唔同晒樣，無論以咩基準睇都唔可以算係同一種天氣狀況^[7]。及後响 1963 年，洛倫茲喺一本講大氣科學嘅期刊嗰度登咗一篇論文，喺篇文入便詳述佢所觀察到嘅嘢，引起學界廣泛關注^[8]。

將洛倫茲系統畫做圖嘅話...

最左：首先，而家將洛倫茲系統 $x,y,z$ 三個變數嘅變化喺一笪 3D 空間裡便畫出嚟，郁嚟郁去嗰個黑點反映 $x,y,z$ 三個數值點樣隨時間變化，而啲曲線就反映咗黑點條移動軌跡。順帶一提，曲線嘅形狀被指係望落有少少似一隻蝴蝶。中間：兩條洛倫茲系統畫出嚟嘅線，藍色線係設 $(x,y,z)=(0,0,1)$ 而 $(\sigma ,\rho ,\beta )=(10,28,8/3)$ 得出嘅；黃色線啲參數數值一樣，但係 $(x,y,z)=(0,0,1+\epsilon )$ ，當中 $\epsilon =10^{-5}$ ； —對比藍色線同黃色線，睇得出變數嘅初始值係噉咦改咗少少，出嗰條軌跡已經有明顯差異。最右：下圖打戙嗰條軸係藍色線同黃色線喺每點時間嘅 $z$ 數值上嘅差異，而打橫嗰條軸就係時間；喺開頭嗰 23 秒內，藍色線同黃色線喺 $z$ 數值上冇咩分別，但係一過咗 23 秒，兩者就開始出現好明顯嘅差異。值得一提嘅係，洛倫茲系統係一個決定型系統^{[e 6]}，冇任何會產生隨機性嘅過程喺入便，即係話就算一個理論模型冇任何隨機性，都有可能發生蝴蝶效應嘅問題，因為對初始條件極度敏感而難以預測。

決策考量編輯

科學其中一個最重要嘅目的，就係要對可以用感官觀察嘅現象作出預測^[9]：無論係自然科學定社會科學都好，用科學方法嚟做研究嘅人都會嘗試建立理論模型^{[e 7]}，用理論模型預測「跟住落嚟會發生咩事」：氣象學研究者會靠住好似洛倫茲系統噉嘅模型，計出氣流同溫度等嘅變數將會（預測）點樣隨住時間而變化；而社會科學亦可以用噉嘅道理想像^[10]—經濟學研究者都會有興趣建立動態系統模型，計出（例如）通脹率同失業率等嘅變數會點隨時間而互相影響同變化^{[註 3]}^[9]^{:p 38}。

呢幅圖畫緊金價，當中 Y 軸係每金衡制安士黃金值嘅價，而 X 軸係時間。想像依家有個人攞住一個經濟模型，想預測金價跟住落嚟嘅走勢。佢可能要擔心自己做嘅量度唔夠精確，預測金價嚟緊升，但最後結果係金價大跌。

對於科學家嚟講，蝴蝶效應呢種現象非常令人憂慮：做科學就必然要量度自己研究緊嘅現象，物理上研究熱力學成日都會量度溫度同壓力，化學上嘅研究成日會量度化學物質嘅濃度，經濟學上嘅研究會量度通脹率同失業率... 等等；喺現實科研上，量度過程冇可能做到完美精確，例如可能溫度嘅實際數值係攝氏 21.506174 度咁多，但係研究者用緊嘅架生唔夠勁，只能夠去到小數點後三個位咁精確，度到嘅數值就會變成 21.506 —不過由洛倫茲系統嘅例子嗰度已經睇得出，入落去個模型度做 input 嘅數值爭咗少少，計出嚟嘅結果可能初頭幾準，但係一旦去到有返咁上下遙遠啲嘅未來（ $t$ 數值有返咁上下大），得出嘅結果就會完全唔同晒。用日常用語講即係話^[9]：

人類對未來嘅預測喺相對近嘅未來之內可以有頗高嘅準確度，但係一旦去到遙遠啲嘅未來，人類嘅預測就會（因為唔能夠完美量度初始狀態）完全偏離晒最後實際見到嘅結果。

呢點對於（例如）管理或者經濟方面嘅決策嚟講都係一條大問題：呢啲工作都必然會涉及想要預測未來，例如做管理工作就講到，管理者要用情景計劃等嘅方法嚟預測每個行動方案會引致嘅未來；蝴蝶效應嘅存在表示，人類預測未來嗰陣，只能夠有信心自己能夠預測（例如）未來一年內會發生咩事^[11]。由 2020 年代初開始，有好多研究者都著力剖析點樣用人工智能嚟加強人類預測未來嘅能力^[12]。

媒體描述編輯

只因少咗一粒釘

For want of a nail the shoe was lost.
少咗粒釘，冇咗蹄鐵。
For want of a shoe the horse was lost.
少咗蹄鐵，冇咗戰馬。
For want of a horse the rider was lost.
少咗戰馬，冇咗騎士。
For want of a rider the message was lost.
少咗騎士，冇咗情報。
For want of a message the battle was lost.
少咗情報，冇咗勝仗。
For want of a battle the kingdom was lost.
少咗勝仗，冇咗王國。
And all for the want of a horseshoe nail.
一切全因少咗粒馬蹄釘。

一般認為，蝴蝶效應呢個名係嚟自美國科幻作家利白普理^{[e 8]}喺 1952 年出嘅短篇故仔《一聲驚雷》^{[e 9]}嘅^[13]。呢個故事講到一個時空穿梭成為咗現實嘅未來世界，主角坐住時光機喺導遊嘅帶領下返白堊紀打獵獵恐龍，幾經辛苦之後眾人殺到隻恐龍，但係途中主角因為驚慌而脫離咗原有航線衝咗入森林，最後眾人返到現代，發覺英文嘅串法唔同咗，而且佢哋身處喺一個畀法西斯主義者統治嘅世界，及後不知所措嘅眾人喺主角嘅鞋底搵到一隻被踩死咗嘅蝴蝶—主角衝入森林嗰陣唔覺意踩死咗隻蝴蝶，就搞到未來完全唔同晒^[14]。

除此之外，《只因少咗一粒釘》^{[e 10]}呢首韻文亦被指係提到類似蝴蝶效應嘅概念。呢段韻文歷史悠久，出自 13 世紀嘅日耳曼地區，內容係講緊一段骨牌效應，因為「少咗一粒釘」呢個微細嘅差異，產生一連串嘅效果，引起「少咗隻戰馬」同「贏少咗一場仗」等愈嚟愈大嘅差異，最後引致「會唔會喪失成個國家」噉嘅巨大差異。呢段韻文提到嘅諗頭，被指係好似現代人講嘅蝴蝶效應^{[註 4]}^[15]。

睇埋編輯

註解編輯

↑ 有關實際嘅技術細節，可以睇睇電腦模擬。
↑ 有關呢啲式嘅數學細節，可以睇吓數學分析同微積分嘅概念。
↑ 不過亦有人指，社會科學預測未來嘅能力遠遠弱過自然科學。
↑ 但有專業啲嘅研究者提出，呢種理解唔完全正確—蝴蝶效應講嘅係一個系統有一啲特性，對初始狀態極敏感，細變化好多時會引起大變化，但就算喺呢啲系統當中，細變化都唔一定會引致大變化。

參考編輯

篇文用咗嘅行話詞彙，英文版本如下：

↑ sensitive dependence of solutions on initial conditions，SDIC
↑ Lorenz system
↑ Edward Norton Lorenz
↑ differential equations
↑ dynamical system
↑ deterministic system
↑ theoretical model
↑ Ray Bradbury
↑ A Sound of Thunder
↑ For Want of a Nail，留意 want 喺廿一世紀初英文裡便通常指想要，但喺中古英文入便係指缺乏。

篇文引用咗以下呢啲文獻同網頁：

↑ Hasselblatt, Boris; Anatole Katok (2003). A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments. Cambridge University Press.
↑ Gaspard, P. (2005). Chaos, scattering and statistical mechanics (No. 9). Cambridge University Press.
↑ Patrick Young - "The trouble with weather forecasting is that it's right too often for us to ignore it and wrong too often for us to rely on it."
↑ The Lorenz attractor (AKA the Lorenz butterfly).
↑ Lorenz Attractor. Wolfram MathWorld.
↑ Alves, J., & Soufi, M. (2014). Statistical stability of geometric Lorenz attractors. Fundamenta Mathematicae, 3(224), 219-231.
↑ Gleick, James (1987). Chaos: Making a New Science. Viking. p. 16.
↑ Lorenz, Edward N. (March 1963). "Deterministic Nonperiodic Flow". Journal of the Atmospheric Sciences. 20 (2): 130-141.
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2
Mandl, C. E. (2023). Prediction, Butterfly Effect, and Decision-Making. In Managing Complexity in Social Systems: Leverage Points for Policy and Strategy (pp. 35-45). Cham: Springer International Publishing，對於一個模型要點先算係有用：
1. All the causal loops of the structure must be plausible and evidence-based.
2. The simulated patterns must not be sensitive to external influences.
3. The model must be able to reproduce past patterns based on earlier initial conditions.
↑ Arthur, W. B. (1989). Competing technologies, increasing returns, and lock-in by historical events. The economic journal, 99(394), 116-131.
↑ Burstein, F., W Holsapple, C., Bennet, A., & Bennet, D. (2008). The decision-making process in a complex situation. Handbook on Decision Support Systems 1: Basic Themes, 3-20.
↑ Shen, B.W., Sr Roger, & Zeng, X. (2024). Special Issue Theme Topic: "Advances in Understanding the Butterfly Effect, Chaos, and Multiscale Dynamics in the AI Era": Reframing Predictability Through AI and Chaos Theory.
↑ Holmes, Neil (2004). "Fateful butterfly". New Scientist. 182 (2443): 31.
↑ Ray Bradbury (1952). A Sound of Thunder.
↑ （英文）蝴蝶效應，The Decision Lab（決策實驗室）

拎編輯

（英文） Weather and Chaos: The Work of Edward N. Lorenz. A short documentary that explains the "butterfly effect" in context of Lorenz's work.
（英文） The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals.
（英文）洛倫茲吸引子，用 MATLAB 嘅程式語言嚟模擬洛倫茲吸引子。
（英文）洛倫茲吸引子，用 Python 呢隻程式語言嚟模擬洛倫茲吸引子。
（英文）混沌，Wolfram 數學世界
（英文）蝴蝶效應，The Decision Lab（決策實驗室）
（英文）厄運嘅蝴蝶，講到創作品入便點樣使用「過去變少少，未來出大變」呢條橋段。

[5] 有關實際嘅技術細節，可以睇睇電腦模擬。

[12] 有關呢啲式嘅數學細節，可以睇吓數學分析同微積分嘅概念。

[20] 不過亦有人指，社會科學預測未來嘅能力遠遠弱過自然科學。

[28] 但有專業啲嘅研究者提出，呢種理解唔完全正確—蝴蝶效應講嘅係一個系統有一啲特性，對初始狀態極敏感，細變化好多時會引起大變化，但就算喺呢啲系統當中，細變化都唔一定會引致大變化。

[1] sensitive dependence of solutions on initial conditions，SDIC

[6] Lorenz system

[7] Edward Norton Lorenz

[8] rential equations

[11] ynamical system

[16] terministic system

[18] theoretical model

[23] Ray Bradbury

[24] A Sound of Thunder

[27] For Want of a Nail，留意 want 喺廿一世紀初英文裡便通常指想要，但喺中古英文入便係指缺乏。

[2] Hasselblatt, Boris; Anatole Katok (2003). A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments. Cambridge University Press.

[3] Gaspard, P. (2005). Chaos, scattering and statistical mechanics (No. 9). Cambridge University Press.

[4] Patrick Young - "The trouble with weather forecasting is that it's right too often for us to ignore it and wrong too often for us to rely on it."

[9] The Lorenz attractor (AKA the Lorenz butterfly).

[10] Lorenz Attractor. Wolfram MathWorld.

[13] Alves, J., & Soufi, M. (2014). Statistical stability of geometric Lorenz attractors. Fundamenta Mathematicae, 3(224), 219-231.

[14] Gleick, James (1987). Chaos: Making a New Science. Viking. p. 16.

[15] Lorenz, Edward N. (March 1963). "Deterministic Nonperiodic Flow". Journal of the Atmospheric Sciences. 20 (2): 130-141.

[mandl23-17] 9.0 ^9.1 ^9.2 Mandl, C. E. (2023). Prediction, Butterfly Effect, and Decision-Making. In Managing Complexity in Social Systems: Leverage Points for Policy and Strategy (pp. 35-45). Cham: Springer International Publishing，對於一個模型要點先算係有用：
All the causal loops of the structure must be plausible and evidence-based.

The simulated patterns must not be sensitive to external influences.

The model must be able to reproduce past patterns based on earlier initial conditions.

[24] All the causal loops of the structure must be plausible and evidence-based.

[25] The simulated patterns must not be sensitive to external influences.

[26] The model must be able to reproduce past patterns based on earlier initial conditions.

[19] Arthur, W. B. (1989). Competing technologies, increasing returns, and lock-in by historical events. The economic journal, 99(394), 116-131.

[21] Burstein, F., W Holsapple, C., Bennet, A., & Bennet, D. (2008). The decision-making process in a complex situation. Handbook on Decision Support Systems 1: Basic Themes, 3-20.

[22] Shen, B.W., Sr Roger, & Zeng, X. (2024). Special Issue Theme Topic: "Advances in Understanding the Butterfly Effect, Chaos, and Multiscale Dynamics in the AI Era": Reframing Predictability Through AI and Chaos Theory.

[25] Holmes, Neil (2004). "Fateful butterfly". New Scientist. 182 (2443): 31.

[26] Ray Bradbury (1952). A Sound of Thunder.

[29] （英文）蝴蝶效應，The Decision Lab（決策實驗室）

[33] All the causal loops of the structure must be plausible and evidence-based.

[34] The simulated patterns must not be sensitive to external influences.

[35] The model must be able to reproduce past patterns based on earlier initial conditions.

[e 1]

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[註 1]

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[註 2]

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[e 6]

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[e 7]

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[註 3]

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[12]

[e 8]

[e 9]

[13]

[14]

[e 10]

[註 4]

[15]

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