e (數學常數)

$e$ 係自然指數同埋自然對數函數嘅底數。有時又叫做自然底數或歐拉數（Euler's number），個名來自瑞士數學家歐拉；佢嘅數值大約係（小數點後20位）：

$e=2.71828182845904523536\ldots$

同圓周率 $\pi$ 同埋虛數單位 $i$ 一樣，$e$ 係數學入面最重要嘅常數之一。

定義

$e$ 可以用微分嚟定義。如果試吓對隨便一個指數函數 $f(x)=a^{x}$ 求導，根據基本原理：

$f'(x)={d \over dx}a^{x}=\lim _{h\to 0}{a^{x+h}-a^{x} \over h}=\lim _{h\to 0}{a^{x}a^{h}-a^{x} \over h}=a^{x}\lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}$

會發現佢嘅微分等於佢自己乘一個數，所以為咗方便，將後面嗰個數 $\lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}$ 定義做 $1$，呢個時候嗰個特定嘅 $a$ 就係最自然嘅底數，即數學常數 $e$。 亦即係 $\lim _{h\to 0}{e^{h}-1 \over h}:=1$，轉換一吓

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}(e^{h}-1)&=\lim _{h\to 0}h\\\lim _{h\to 0}e^{h}&=\lim _{h\to 0}(1+h)\end{aligned}}$

得到 $e:=\lim _{h\to 0}(1+h)^{1 \over h}$ 或 $e:=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h}$。

即係話 $e$ 嘅定義係$(1+{\frac {1}{h}})^{h}$，入面嘅 $h$ 趨於無限大。

如果用二項式定理展開佢，會變成：

$e=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h}=\lim _{h\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\left((_{k}^{h}){1 \over h^{k}}\right)$

${\begin{aligned}&=\lim _{h\to \infty }\left((_{0}^{h}){1 \over h^{0}}+(_{1}^{h}){1 \over h^{1}}+(_{2}^{h}){1 \over h^{2}}+\dots \right)\\&=\lim _{h\to \infty }\left({1 \over 0!}+{h \over 1!}{1 \over h}+{h(h-1) \over 2!}{1 \over h^{2}}+{h(h-1)(h-2) \over 3!}{1 \over h^{3}}+\dots \right)\\&=\lim _{h\to \infty }\left({1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1-{1 \over h} \over 2!}+{(1-{1 \over h})(1-{2 \over h}) \over 3!}+\dots \right)\\&=\lim \left({1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\dots \right)\\&=\lim _{h\to \infty }\sum _{n=0}^{h}{1 \over n!}\end{aligned}}$

所以 $e$ 亦可定義做 $\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=1+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+\ldots$，當中嘅$\ n!\$係階乘嘅意思。

當定義咗 $e$ 之後，可以定義埋自然對數 $\ln(x)=\log _{e}(x)$。 所以 $a^{x}=e^{x\ln(a)}$(對數律)。 然後 $a^{x}$ 嘅微分就可以用連鎖律計：

${d \over dx}a^{x}={d \over dx}e^{x\ln(a)}={d \over d(x\ln(a))}e^{x\ln(a)}\times {d \over dx}(\ x\ln(a)\ )=a^{x}\ln(a)$

另一方面，睇返一開始用基本原理得到 $a^{x}$ 嘅微分係 $a^{x}\lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}$，而家知道 $\lim _{h\to 0}{a^{h}-1 \over h}=\ln(a)$。 再調位：

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}(a^{h}-1)&=\lim _{h\to 0}h\ln(a)\\\lim _{h\to 0}a^{h}&=\lim _{h\to 0}\ (\ 1+h\ln(a)\ )\\a&=\lim _{h\to 0}\ (\ 1+h\ln(a)\ )^{1 \over h}\end{aligned}}$

因為 $a=e^{\ln(a)}$ 同埋上面對 $e$ 嘅定義，所以：

$e^{\ln(a)}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{\ln(a) \over h}\right)^{h}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{h\ln(a)}$

即

$e^{x}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{x \over h}\right)^{h}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{1 \over h}\right)^{hx}$

用二項定理展開，過程同上面差唔多，會得到

$e^{x}=\lim _{h\to \infty }\sum _{n=0}^{h}{x^{n} \over n!}$

所以自然指數 $e^{x}$ 可定義做 $\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\ldots$

無理數

$e$ 係一個無理數。可以用反證法證明。

假設 $e$ 係一個有理數，$P,Q$ 係正整數，同埋 $Q\neq 0$：

$e={P \over Q}=1+{1 \over 1}+{1 \over {1\cdot 2}}+{1 \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots$

$Qe=P=Q+{Q \over 1}+{Q \over {1\cdot 2}}+{Q \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots \in \mathbb {Z}$

$k!\cdot Qe=k!\cdot Q+{k!\cdot Q \over 1}+{k!\cdot Q \over {1\cdot 2}}+{k!\cdot Q \over {1\cdot 2\cdot 3}}+\dots \in \mathbb {Z}$，當中嘅 $k$ 係大於 $Q$ 嘅任意正整數。

$k!\cdot Qe=L+{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)(k+2)}}+{Q \over {(k+1)(k+2)(k+3)}}+\ldots$，入面 $L$ 係整數。

$0<{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)(k+2)}}+{Q \over {(k+1)(k+2)(k+3)}}+\dots <{Q \over {k+1}}+{Q \over {(k+1)^{2}}}+{Q \over {(k+1)^{3}}}+\dots ={Q \over k}<1$

所以 $k!\cdot Qe=$ 整數 + 小數，而左面嘅 $k!\cdot Qe$ 係整數。

得出「整數＝整數＋小數」嘅矛盾，即係話原本嘅假設係錯，$e$ 唔係有理數，但 $e$ 係實數，所以只能夠係無理數。

用處

好多增長或衰減過程都會用到 $e$，就好似計利息咁，可以睇下複利。

睇埋

• 圓周率
• 無理數
• 超越數
• 歐拉數
• 極限
• 微積分
• 複數